Унимодулярная решётка

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем $\pm 1$ . Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен $1$ .

Определения

Решётка — свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{n}$ конечного ранга $n$ с симметричной билинейной формой $({*},{*})$ .
Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ с симметрической билинейной формой.
Число $n$ называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг $\mathbb {Z}$ -модуля $\mathbb {Z} ^{n}$ , или число образующих свободной группы $\mathbb {Z} ^{n}$ .
Решётка называется целой, если форма $({*},{*})$ принимает только целочисленные значения.
Норма элемента $a$ решётки определяется как $(a,a)$ .
Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
- Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
- Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен $\pm 1$ .
Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

Примеры

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , а также $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — унимодулярные решётки.
Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

Свойства

Для данной решётки в $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ $\text{[math]}$ вектора $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $\text{[math]}$ такие, что $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $\text{[math]}$ для любого $a\in \Lambda$ $\text{[math]}$ также образуют решётку называемую двойственной решёткой к $\Lambda$ $\text{[math]}$ .
- Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
- Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой $(m,n)$ $\text{[math]}$ существует тогда и только тогда, когда $m-n$ $\text{[math]}$ делится на 8.
- В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

Приложения

Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
- В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
- Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий $\mathbb {Z}$ $\text{[math]}$ .
  - В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

Литература

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28, in Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires, vol. 37, Monogr. Enseign. Math., Geneva: L'Enseignement Mathématique, с. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Архивная копия от 28 сентября 2007 на Wayback Machine
Conway, J.H. & Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, vol. 290 (Third ed.), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), A mass formula for unimodular lattices with no roots, Mathematics of Computation Т. 72 (242): 839–863, DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor, John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms, vol. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic, vol. 7, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90040-3, DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Внешние ссылки

Каталог унимодулярных решёток Нила Слоуна.
Sloane's A005134 : Number of n-dimensional unimodular lattices", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.