Функция делителей

Функция «сумма положительных делителей» σ_x(n) для вещественного или комплексного числа x определяется как сумма x-х степеней положительных делителей числа n. Функцию можно выразить формулой

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!,}$

где ${\displaystyle {d|n}}$ означает «d делит n». Обозначения d(n), ν(n) и τ(n) (от немецкого Teiler = делитель) используются также для обозначения σ₀(n), или функции числа делителей [1][2]. Если x равен 1, функция называется сигма-функцией или суммой делителей[3], и индекс часто опускается, так что σ(n) эквивалентна σ₁(n)[4].

Аликвотная сумма s(n) для n — это сумма собственных делителей (то есть всех делителей, за исключением самого n[5], и равна σ₁(n) − n. Аликвотная последовательность для n образуется последовательным вычислением аликвотной суммы, то есть каждое последующее значение в последовательности равно аликвотной сумме предыдущего значения.

Например, σ₀(12) — количество делителей числа 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

в то время как σ₁(12) — сумма всех делителей:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

и аликвотная сумма s(12) собственных делителей равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

Случаи ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle x=3}$ и так далее входят в последовательности A001157, A001158, A001159, A001160, A013954, A013955 …

Для целых, не являющихся квадратами, каждый делитель d числа n имеет парный делитель n/d, а значит, ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ всегда чётно для таких чисел. Для квадратов один делитель, а именно ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, не имеет пары, так что для них ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ всегда нечётно.

Для простого числа p,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

поскольку, по определению, простое число делится только на единицу и самого себя. Если p_n# означает праймориал, то

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

Ясно, что ${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$ и ${\displaystyle \sigma (n)>n}$ для всех ${\displaystyle n>2}$.

Функция делителей мультипликативна, но не вполне мультипликативна.

Если мы запишем

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$,

где r = ω(n) — число простых делителей числа n, p_i — i-й простой делитель, а a_i — максимальная степень p_i, на которую делится n, то

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}$,

что эквивалентно:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}).}$

Если положить x = 0, получим, что d(n) равно:

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Например, число n = 24 имеет два простых делителя — p₁ = 2 и p₂ = 3. Поскольку 24 — это произведение 2³×3¹, то a₁ = 3 и a₂ = 1.

Теперь мы можем вычислить ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)\\&=(3+1)(1+1)=4\times 2=8.\end{aligned}}}$

Восемь делителей числа 24 — это 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, и 24.

Заметим также, что s(n) = σ(n) − n. Здесь s(n) обозначает сумму собственных делителей числа n, то есть делителей, за исключением самого числа n. Эта функция используется для определения совершенности числа — для них s(n) = n. Если s(n) > n, n называется избыточным, а если s(n) < n, n называется недостаточным.

Если n — степень двойки, то есть ${\displaystyle n=2^{k}}$, то ${\displaystyle \sigma (n)=2\times 2^{k}-1=2n-1,}$ и s(n) = n — 1, что делает n почти совершенным.

Как пример, для двух простых p и q (где p < q), пусть

${\displaystyle n=pq.}$

Тогда

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \phi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

и

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\phi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\phi (n))/2,}$

где φ(n) — функция Эйлера.

Тогда корни p и q уравнения:

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\phi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]=0}$

можно выразить через σ(n) и φ(n) :

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\phi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\phi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\phi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\phi (n))/2-1]}}.}$

Зная n и либо σ(n), либо φ(n) (или зная p+q и либо σ(n), либо φ(n)) мы легко можем найти p и q.

В 1984 году Хиз-Браун (Roger Heath-Brown) доказал, что

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

встречается бесконечно много раз.

Два ряда Дирихле, использующие функцию делителей:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a),}$

и при обозначении d(n) = σ₀(n) получим

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s),}$

и второй ряд,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}$

Ряд Ламбера, использующий функцию делителей:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

для любого комплексного |q| ≤ 1 и a.

Эта сумма появляется также в рядах Фурье для рядов Эйзенштейна и в инвариантах эллиптических функций Вейерштрасса.

В терминах о-малое функция делителей удовлетворяет неравенству (см. стр. 296 книги Апостола[6])

для всех ${\displaystyle \epsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\epsilon }).}$

Северин Вигерт дал более точную оценку

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

С другой стороны, ввиду бесконечности количества простых чисел,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

В терминах О-большое, Дирихле показал, что средний порядок функции делителей удовлетворяет следующему неравенству (см. теорему 3.3 книги Апостола)

для всех ${\displaystyle x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Задача улучшить границу ${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$ в этой формуле — это проблема Дирихле о делителях

Поведение сигма-функции неравномерно. Асимптотическую скорость роста сигма-функции можно выразить формулой:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

где lim sup — верхний предел. Этот результат является теоремой Грёнвалла (Grönwall), опубликованной в 1913 году[7]. Его доказательство использует третью теорему Мертенса, которая утверждает, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

где p — простое.

В 1915 году Рамануджан доказал, что при выполнении гипотезы Римана неравенство

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$ (неравенство Робина)

выполняется для всех достаточно больших n[8]. В 1984 году Гай Робин доказал, что неравенство верно для всех n ≥ 5041 в том и только в том случае, если гипотеза Римана верна[9]. Это теорема Робина и неравенство стало широко известно после доказательства теоремы. Наибольшее известное число, нарушающее неравенство — это n=5040. Если гипотеза Римана верна, то нет чисел, больших этого и нарушающих неравенство. Робин показал, что в случае ошибочности гипотезы существует бесконечно много чисел n, нарушающих неравенство, и известно, что наименьшее из таких чисел n ≥ 5041 должно быть сверхизбыточным числом[10]. Было показано, что неравенство выполняется для больших нечётных свободных от квадратов чисел, и что гипотеза Римана эквивалентна выполнению неравенства для всех чисел n, делящихся на пятую степень простого числа[11]

Джефри Лагариас (Jeffrey Lagarias) в 2002 году доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}$

для любого натурального n, где ${\displaystyle H_{n}}$ — n-е гармоническое число[12].

Робин доказал, что неравенство

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

выполняется для n ≥ 3 без каких-либо дополнительных условий.

• Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
• Weisstein, Eric W. Robin's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF, авторы — Huard, Ou, Spearman, и Williams. Содержит элементарное (то есть не опирающееся на теорию модулярных форм) доказательство свертки суммы делителей, формулы для представления различными способами чисел как суммы треугольных чисел.