Арифметическая функция
Арифметическая функция — функция, определённая на множестве натуральных чисел и принимающая значения из множества комплексных чисел .
Определение
Как следует из определения, арифметической функцией называется любая функция
Название арифметическая функция связано с тем, что в теории чисел известно много функций натурального аргумента, выражающих те или иные арифметические свойства . Поэтому, неформально говоря, под арифметической функцией понимают функцию , которая «выражает некоторое арифметическое свойство» натурального числа (см. примеры арифметических функций ниже).
Многие арифметические функции, рассматриваемые в теории чисел, в действительности являются целозначными.
Операции и связанные понятия
- Суммой арифметической функции называют функцию , определённую как
Эта операция является «дискретным аналогом» неопределённого интеграла; при этом, хотя исходная функция и была определена только на , её сумму оказывается удобным считать определённой на всей положительной полуоси (при этом она, естественно, кусочно-постоянна).
- Свёрткой Дирихле двух арифметических функций f и g называется арифметическая функция h, определённая по правилу
- Арифметической функции f можно сопоставить её «производящую функцию» — ряд Дирихле
При этом свёртке Дирихле двух арифметических функций соответствует произведение их производящих функций.
- Поточечное умножение на логарифм,
является дифференцированием алгебры арифметических функций: относительно свёртки оно удовлетворяет правилу Лейбница,
Переход к производящей функции превращает эту операцию в обычное дифференцирование.
Известные арифметические функции
Число делителей
Арифметическая функция определяется как число положительных делителей натурального числа :
Если и взаимно просты, то каждый делитель произведения может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей и делителей , и обратно, каждое такое произведение является делителем . Отсюда следует, что функция мультипликативна:
Если — каноническое разложение натурального , то в силу мультипликативности
Так как положительными делителями числа являются чисел , то
Число делителей большого целого числа n растёт в среднем как [1]. Более точно — см. формулу Дирихле.
Сумма делителей
Функция определяется как сумма делителей натурального числа :
Обобщая функции и для произвольного, вообще говоря комплексного , можно определить — сумму -х степеней положительных делителей натурального числа :
Используя нотацию Айверсона, можно записать
Функция мультипликативна:
Если — каноническое разложение натурального , то
Сумма делителей числа n растёт в среднем как линейная функция cn, где постоянная c найдена Эйлером и есть [1].
Функция Эйлера
Функция Эйлера , или тотиента, определяется как количество положительных целых чисел, не превосходящих , взаимно простых с .
Пользуясь нотацией Айверсона, можно записать:
Функция Эйлера мультипликативна:
В явном виде значение функции Эйлера выражается формулой:
где — различные простые делители .
Функция Мёбиуса
Функцию Мёбиуса можно определить как арифметическую функцию, которая удовлетворяет следующему соотношению:
То есть сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого положительного числа равна нулю, если , и равна , если .
Можно показать, что этому уравнению удовлетворяет лишь одна функция, и её можно явно задать следующей формулой:
Здесь — различные простые числа, — простое число. Иначе говоря, функция Мёбиуса равна , если не свободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа), и равна в противном случае (плюс или минус выбирается в зависимости от четности числа простых делителей ).
Функция Мёбиуса является мультипликативной функцией. Важное значение функции Мёбиуса в теории чисел связано с формулой обращения Мёбиуса.
Примечания
- В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.
См. также
Литература
- Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
- Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел = Introduction to Analytic Number Theory. — М.: «Мир», 1974. — 188 с.