Приятельские числа
Приятельские числа — это два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.
Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.
Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.
Индекс избыточности числа n — это рациональное число , в котором означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует такое, что . Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как .
Избыточность может быть также выражена как , где означает функцию делителя с , равным сумме k-ых степеней делителей n.
Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности , что равно . Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.
Вопреки схожести названий, нет прямой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.
Примеры
В таблице голубые числа доказанно являются приятельскими (последовательность A074902 в OEIS), красные числа доказанно являются отшельниками (последовательность A095739 в OEIS), числа n, взаимно простые с (последовательность A014567 в OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены жёлтым фоном.
n | n | n | n | |||||||||||
1 | 1 | 1 | 37 | 38 | 38/37 | 73 | 74 | 74/73 | 109 | 110 | 110/109 | |||
2 | 3 | 3/2 | 38 | 60 | 30/19 | 74 | 114 | 57/37 | 110 | 216 | 108/55 | |||
3 | 4 | 4/3 | 39 | 56 | 56/39 | 75 | 124 | 124/75 | 111 | 152 | 152/111 | |||
4 | 7 | 7/4 | 40 | 90 | 9/4 | 76 | 140 | 35/19 | 112 | 248 | 31/14 | |||
5 | 6 | 6/5 | 41 | 42 | 42/41 | 77 | 96 | 96/77 | 113 | 114 | 114/113 | |||
6 | 12 | 2 | 42 | 96 | 16/7 | 78 | 168 | 28/13 | 114 | 240 | 40/19 | |||
7 | 8 | 8/7 | 43 | 44 | 44/43 | 79 | 80 | 80/79 | 115 | 144 | 144/115 | |||
8 | 15 | 15/8 | 44 | 84 | 21/11 | 80 | 186 | 93/40 | 116 | 210 | 105/58 | |||
9 | 13 | 13/9 | 45 | 78 | 26/15 | 81 | 121 | 121/81 | 117 | 182 | 14/9 | |||
10 | 18 | 9/5 | 46 | 72 | 36/23 | 82 | 126 | 63/41 | 118 | 180 | 90/59 | |||
11 | 12 | 12/11 | 47 | 48 | 48/47 | 83 | 84 | 84/83 | 119 | 144 | 144/119 | |||
12 | 28 | 7/3 | 48 | 124 | 31/12 | 84 | 224 | 8/3 | 120 | 360 | 3 | |||
13 | 14 | 14/13 | 49 | 57 | 57/49 | 85 | 108 | 108/85 | 121 | 133 | 133/121 | |||
14 | 24 | 12/7 | 50 | 93 | 93/50 | 86 | 132 | 66/43 | 122 | 186 | 93/61 | |||
15 | 24 | 8/5 | 51 | 72 | 24/17 | 87 | 120 | 40/29 | 123 | 168 | 56/41 | |||
16 | 31 | 31/16 | 52 | 98 | 49/26 | 88 | 180 | 45/22 | 124 | 224 | 56/31 | |||
17 | 18 | 18/17 | 53 | 54 | 54/53 | 89 | 90 | 90/89 | 125 | 156 | 156/125 | |||
18 | 39 | 13/6 | 54 | 120 | 20/9 | 90 | 234 | 13/5 | 126 | 312 | 52/21 | |||
19 | 20 | 20/19 | 55 | 72 | 72/55 | 91 | 112 | 16/13 | 127 | 128 | 128/127 | |||
20 | 42 | 21/10 | 56 | 120 | 15/7 | 92 | 168 | 42/23 | 128 | 255 | 255/128 | |||
21 | 32 | 32/21 | 57 | 80 | 80/57 | 93 | 128 | 128/93 | 129 | 176 | 176/129 | |||
22 | 36 | 18/11 | 58 | 90 | 45/29 | 94 | 144 | 72/47 | 130 | 252 | 126/65 | |||
23 | 24 | 24/23 | 59 | 60 | 60/59 | 95 | 120 | 24/19 | 131 | 132 | 132/131 | |||
24 | 60 | 5/2 | 60 | 168 | 14/5 | 96 | 252 | 21/8 | 132 | 336 | 28/11 | |||
25 | 31 | 31/25 | 61 | 62 | 62/61 | 97 | 98 | 98/97 | 133 | 160 | 160/133 | |||
26 | 42 | 21/13 | 62 | 96 | 48/31 | 98 | 171 | 171/98 | 134 | 204 | 102/67 | |||
27 | 40 | 40/27 | 63 | 104 | 104/63 | 99 | 156 | 52/33 | 135 | 240 | 16/9 | |||
28 | 56 | 2 | 64 | 127 | 127/64 | 100 | 217 | 217/100 | 136 | 270 | 135/68 | |||
29 | 30 | 30/29 | 65 | 84 | 84/65 | 101 | 102 | 102/101 | 137 | 138 | 138/137 | |||
30 | 72 | 12/5 | 66 | 144 | 24/11 | 102 | 216 | 36/17 | 138 | 288 | 48/23 | |||
31 | 32 | 32/31 | 67 | 68 | 68/67 | 103 | 104 | 104/103 | 139 | 140 | 140/139 | |||
32 | 63 | 63/32 | 68 | 126 | 63/34 | 104 | 210 | 105/52 | 140 | 336 | 12/5 | |||
33 | 48 | 16/11 | 69 | 96 | 32/23 | 105 | 192 | 64/35 | 141 | 192 | 64/47 | |||
34 | 54 | 27/17 | 70 | 144 | 72/35 | 106 | 162 | 81/53 | 142 | 216 | 108/71 | |||
35 | 48 | 48/35 | 71 | 72 | 72/71 | 107 | 108 | 108/107 | 143 | 168 | 168/143 | |||
36 | 91 | 91/36 | 72 | 195 | 65/24 | 108 | 280 | 70/27 | 144 | 403 | 403/144 |
Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:
Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.
Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).
Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).
Числа-отшельники
Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, является неприводимой дробью, то число n является отшельником (последовательность A014567 в OEIS). Для простого числа p мы имеем , и это число взаимно просто с p.
Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000[1].
Большие клубы
Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные мультисовершенными числами, то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членов[2]. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.
Примечания
Литература
- Weisstein, Eric W. Friendly Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Friendly Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Solitary Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Abundancy (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Jason Cemra. 10 Solitary Check // Github/CemraJC/Solidarity.
- Achim Flammenkamp. The Multiply Perfect Numbers Page. — 2008.