Октаэдральное число
Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел[1]:
Общая формула[2] для -го по порядку октаэдрального числа :
Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):
Рекуррентная формула[1]:
Производящая функция последовательности[1]:
Связь с фигурными числами других типов
Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами :
Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.
Ещё один вид связи[1]:
Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.
Связь с тетраэдральными и кубическими числами:
Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число[1]:
Гипотеза Поллока
В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение[3], что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:
- 309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
- 11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
- 65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.
Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых[4][5].
Применение
В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)[6][7].
Примечания
- Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.
- Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, с. 50, ISBN 978-0-387-97993-9.
- Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — .
- Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
- Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22>.
- Teo, Boon K. & Sloane, N. J. A. (1985), Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters, Inorganic Chemistry Т. 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, <http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf> Архивная копия от 13 марта 2012 на Wayback Machine.
- Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, с. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, <https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76>.
Литература
- Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Octahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.