Числа звёздчатого октаэдра

Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как ${\displaystyle StOct_{n}=O_{n}+8T_{n-1}}$[1], где ${\displaystyle O_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ное октаэдрическое число, а ${\displaystyle T_{n}}$ — ${\displaystyle n}$-ное тетраэдрическое число. Поскольку ${\displaystyle O_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)}$[3], а ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {1}{6}}(n-1)n(n+1)}$[4], получим ${\displaystyle StOct_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)+{\frac {8}{6}}(n-1)n(n+1)={\frac {1}{3}}(n(2n^{2}+1)+4(n-1)n(n+1))={\frac {1}{3}}(2n^{3}+n+4n^{3}-4n)={\frac {1}{3}}(6n^{3}-3n)=n(2n^{2}-1)}$.

Рекуррентные формулы ${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n^{2}}$[5] и ${\displaystyle T_{n+1}=T_{n}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$[5] позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: ${\displaystyle StOct_{1}=1}$, ${\displaystyle StOct_{n+1}=StOct_{n}+6n^{2}+6n+1}$[5].

Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это ${\displaystyle StOct_{1}=1}$ и ${\displaystyle StOct_{169}=3107^{2}=9653449}$[5] Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения Люнггрена, диофантова уравнения ${\displaystyle y^{2}=2x^{4}-1}$[6][7].