Квадратное пирамидальное число

Общая формула для ${\displaystyle n}$-го по порядку квадратного пирамидального числа:

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}.}$

Это частный случай формулы Фаулхабера, которую несложно доказать по индукции. Впервые равносильная формула была приведена в «Книге абака» Фибоначчи (XIII век).

В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрхарта. Многочлен Эрхарта L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрхарта пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле[1]:

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = P_t + 1.

Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {1} x+\mathbf {5} x^{2}+\mathbf {14} x^{3}+\mathbf {30} x^{4}+\mathbf {55} x^{5}+\ldots ={\frac {x(x+1)}{(x-1)^{4}}}.}$

Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов:

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$

Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образом[2]:

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.}$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.

Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами, известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875)[3].

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

• Фигурные числа
• Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions (неопр.). — National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. — С. 813. — ISBN 0486612724.