Эйлеровы числа

Эйлеровы числа (или числа Эйлера) — целые числа ${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},\dots }$, использующиеся при разложении гиперболического секанса в степенной ряд[1]

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ch} (t)}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}\cdot t^{n}}{n!}}}$.

Здесь ch(t) обозначает гиперболический косинус.

Так как функция ch(t) чётная, то

${\displaystyle E_{1}=E_{3}=E_{5}=\dots =E_{2n+1}=\dots =0}$

Начальные числа Эйлера с чётными индексами (последовательность A028296 в OEIS):

E₀ = 1

E₂ = −1

E₄ = 5

E₆ = −61

E₈ = 1385

E₁₀ = −50521

Эйлеровы числа связаны с числами Бернулли следующими соотношениями:

${\displaystyle E_{n-1}={\frac {(4B-1)^{n}-(4B-3)^{n}}{2n}},}$

${\displaystyle E_{2n}={\frac {4^{2n+1}}{2n+1}}(B-0.25)^{2n+1}.}$

После раскрытия скобок степень числа B следует заменить на индекс.