Числа Эйлера I рода

Значение чисел Эйлера ${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$ для малых значений n и k приведены в следующей таблице (последовательность A008292 в OEIS):

Легко понять, что значения на главной диагонали матрицы задаются формулой: ${\displaystyle \left\langle {n \atop n}\right\rangle =[n=0].}$

Треугольник Эйлера, как и треугольник Паскаля, симметричен слева и справа. Но в этом случае закон симметрии несколько отличен:

${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle =\left\langle {n \atop n-1-k}\right\rangle }$ при n > 0.

То есть перестановка имеет n-1-k подъёмов тогда и только тогда, когда её «отражение» имеет k подъёмов.

Каждая перестановка ${\displaystyle \rho =\rho _{1}\dots \rho _{n-1}}$ из набора ${\displaystyle \{1,2,3,n-1\}}$ приводит к ${\displaystyle n}$ перестановкам из ${\displaystyle \{1,2,3,n\}}$, если мы вставляем новый элемент n всеми возможными способами. Вставляя ${\displaystyle n}$ в ${\displaystyle j}$-ю позицию, получаем перестановку ${\displaystyle \pi =\rho _{1}\dots \rho _{j-1}n\rho _{j}\dots \rho _{n-1}}$. Количество подъёмов в ${\displaystyle \pi }$ равняется количеству подъёмов в ${\displaystyle \rho }$, если ${\displaystyle j=1}$ или если ${\displaystyle \pi _{j-1}<\pi _{j}}$; и оно больше количества подъёмов в ${\displaystyle \rho }$, если ${\displaystyle j=n}$ или если ${\displaystyle \rho _{j-1}>\rho _{j}}$. Следовательно, ${\displaystyle \pi }$ в сумме имеет ${\displaystyle (k+1)\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle }$ способов построения перестановок из ${\displaystyle \rho }$, которые имеют ${\displaystyle k}$ подъёмов, плюс ${\displaystyle ((n-2)-(k-1)+1)\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle }$ способов построения перестановок из ${\displaystyle \rho }$, которые имеют ${\displaystyle k-1}$ подъёмов. Тогда искомая рекуррентная формула для целых ${\displaystyle n>0}$ имеет вид:

${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle =(k+1)\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle +(n-k)\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle .}$

Положим также, что

${\displaystyle \left\langle {0 \atop k}\right\rangle =[k=0]}$ (для целых ${\displaystyle k}$),

и при ${\displaystyle k<0}$:

${\displaystyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle =0.}$

Явная формула для чисел Эйлера I рода:

${\displaystyle \left\langle {n \atop m}\right\rangle =\sum _{k=0}^{m}{n+1 \choose k}(m+1-k)^{n}(-1)^{k}}$

позволяет получить относительно простые выражения при малых значениях m:

${\displaystyle \left\langle {n \atop 0}\right\rangle =1;}$

${\displaystyle \left\langle {n \atop 1}\right\rangle =2^{n}-n-1;}$

${\displaystyle \left\langle {n \atop 2}\right\rangle =3^{n}-(n+1)2^{n}+{n+1 \choose 2}.}$

Из комбинаторного определения очевидно, что сумма чисел Эйлера I рода, расположенных в n-й строке, равна ${\displaystyle n!}$, так как она равна количеству всех перестановок порядка ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}\left\langle {n \atop m}\right\rangle =n!}$

Знакопеременные суммы чисел Эйлера I рода при фиксированном значении n связаны с числами Бернулли ${\displaystyle B_{n+1}}$:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle ={\frac {2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}},}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {n \choose m}^{-1}=(n+1)B_{n},}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {n-1 \choose m}^{-1}=0.}$

Также справедливы следующие тождества, связывающие числа Эйлера I рода с числами Стирлинга II рода:

${\displaystyle \sum _{k=n-m}^{n}\left\langle {n \atop k}\right\rangle {k \choose n-m}=m!\left\{{n \atop m}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{2^{k}}}=\sum _{k=1}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}3^{k}\left\langle {n \atop k}\right\rangle =2^{n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{3^{k}}}}$

Производящая функция чисел Эйлера I рода имеет вид:

${\displaystyle {\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {n \atop m}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Числа Эйлера I рода связаны также с производящей функцией последовательности ${\displaystyle n}$-х степеней (полилогарифм целого отрицательного порядка):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{n}x^{k}={\frac {\sum _{m=0}^{n-1}\left\langle {n \atop m}\right\rangle x^{m+1}}{(1-x)^{n+1}}}.}$

Кроме того, Z-преобразование из

${\displaystyle \left\{n^{k}\right\}_{k=1}^{N}}$

является генератором первых N строк треугольник чисел Эйлера, когда знаменатель ${\displaystyle n}$-й элемента преобразования сокращается умножением на ${\displaystyle (z-1)^{j+1}}$:

${\displaystyle Z\left[\{n^{k}\}_{k=1}^{3}=\left\{{\frac {z}{(z-1)^{2}}},{\frac {z+z^{2}}{(z-1)^{3}}},{\frac {z+4z^{2}+z^{3}}{(z-1)^{4}}}\right\}\right]}$

Тождество Ворпицкого выражает степенную функцию в виде суммы произведений чисел Эйлера I рода и обобщённых биномиальных коэффициентов:

${\displaystyle x^{n}=\sum _{m=0}^{n-1}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {x+m \choose n}.}$

В частности:

${\displaystyle x^{2}={x \choose 2}+{x+1 \choose 2}}$

${\displaystyle x^{3}={x \choose 3}+4{x+1 \choose 3}+{x+2 \choose 3}}$

${\displaystyle x^{4}={x \choose 4}+11{x+1 \choose 4}+11{x+2 \choose 4}+{x+3 \choose 4}}$

и т. д. Эти тождества легко доказываются по индукции.

Тождество Ворпицкого даёт ещё один способ вычисления суммы первых ${\displaystyle n}$ квадратов:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\langle {2 \atop 0}\right\rangle {k \choose 2}+\left\langle {2 \atop 1}\right\rangle {k+1 \choose 2}=\sum _{k=1}^{n}{k \choose 2}+{k+1 \choose 2}=}$

${\displaystyle =\left({1 \choose 2}+{2 \choose 2}+\dots +{n \choose 2}\right)+\left({2 \choose 2}+{3 \choose 2}+\dots +{n+1 \choose 2}\right)=}$

${\displaystyle ={n+1 \choose 3}+{n+2 \choose 3}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$