Числа Эйлера II рода

Число Эйлера второго рода, обозначаемое ${\displaystyle \left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle }$, подсчитывает количество всех таких перестановок, которые имеют ровно ${\displaystyle m}$ восхождений. Например, для ${\displaystyle n=3}$ существует ${\displaystyle 15}$ таких перестановок, ${\displaystyle 1}$ без подъемов, ${\displaystyle 8}$ с одним подъемом и ${\displaystyle 6}$ с двумя подъемами:

${\displaystyle 332211,}$

${\displaystyle 221133,221331,223311,233211,113322,133221,331122,331221,}$

${\displaystyle 112233,122133,112332,123321,133122,122331.}$

Числа Эйлера второго рода удовлетворяют рекуррентному соотношению, которое непосредственно следует из приведенного выше определения:

${\displaystyle \left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle =(2n-m-1)\left\langle {\left\langle {n-1 \atop m-1}\right\rangle }\right\rangle +(m+1)\left\langle {\left\langle {n-1 \atop m}\right\rangle }\right\rangle }$,

c начальным условием для ${\displaystyle n=0}$, выраженным в скобках Иверсона:

${\displaystyle \left\langle {\left\langle {0 \atop m}\right\rangle }\right\rangle =[m=0]}$.

Соответственно, полином Эйлера второго рода, обозначаемый здесь ${\displaystyle P_{n}}$ (для них не существует стандартных обозначений) ${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\left\langle {\left\langle {n \atop m}\right\rangle }\right\rangle }x^{m}}$ и вышеупомянутые рекуррентные отношения переводятся в рекуррентное отношение для последовательности ${\displaystyle P_{n}(x)}$:

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P'_{n}(x)}$

С начальным условием ${\displaystyle P_{0}(x)=1}$.

Последнее повторение может быть записано в несколько более компактной форме с помощью интегрирующего фактора:

${\displaystyle (x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=(x(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)')}$

так что рациональная функция

${\displaystyle u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)}$

удовлетворяет простой автономный рецидив:

${\displaystyle u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)'}$, ${\displaystyle u_{0}=1}$,

откуда можно получить эйлеровы многочлены в виде ${\displaystyle P_{n}(x)=(1-x)^{2n}}$ и ${\displaystyle u_{n}(x)}$ и числа Эйлера второго рода в качестве их коэффициентов.

Сумма ${\displaystyle n}$–ой строки, которая также является значением ${\displaystyle P_{n}(1)}$, равна ${\displaystyle ({\text{2n-1}})!!}$.

• Эйлер, Леонард
• Числа Эйлера I рода
• Рекуррентная формула

• Eulerian number — Wikipedia
• Weisstein, Eric W. Euler's Number Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Числа Эйлера
• Weisstein, Eric W. Треугольник чисел Эйлера II рода (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.