Мультимножество

Мультимножество — модификация понятия множества, допускающая включение одного и того же элемента в совокупность по нескольку раз. Число элементов в мультимножестве, с учётом повторяющихся элементов, называется его размером или мощностью.

Идея мультимножества неявно используется со времён древности (Кнут приводит в пример Бхаскару II из XII века, изучавшего перестановки мультимножеств), но введение понятия и фиксацию термина относят к де Брёйну (1970-е годы)[1]. Используется в основном в приложениях (информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений), в применении к теории сетей Петри мультимножество называется комплектом[2]. В различных приложениях используют разную нотацию.

Формально, мультимножество на множестве ${\displaystyle A}$ определяется как упорядоченная пара ${\displaystyle (A,m)}$, где ${\displaystyle m\colon A\to \mathbb {N} }$ — это функция, сопоставляющая каждому элементу множества ${\displaystyle A}$ некоторое натуральное число, называемое кратностью этого элемента.

Один из самых простых примеров — мультимножество простых множителей целого числа. Так, например, разложение числа 120 на простые множители имеет вид: ${\displaystyle 120=2^{3}3^{1}5^{1}}$, поэтому его мультимножество простых делителей — ${\displaystyle \{2,2,2,3,5\}}$.

Другой пример — мультимножество корней алгебраического уравнения. Например, уравнение ${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+8x-4=0}$ имеет корни ${\displaystyle \{1,2,2\}}$.

Число различных мультимножеств мощности ${\displaystyle k}$, состоящих из элементов, выбранных из множества мощности ${\displaystyle n}$, может быть вычислено по следующей формуле, как биномиальный коэффициент:

${\displaystyle {n+k-1 \choose k}}$.