Мультимножество

Мультимножество — модификация понятия множества, допускающая включение одного и того же элемента в совокупность по нескольку раз. Число элементов в мультимножестве, с учётом повторяющихся элементов, называется его размером или мощностью.

Идея мультимножества неявно используется со времён древности (Кнут приводит в пример Бхаскару II из XII века, изучавшего перестановки мультимножеств), но введение понятия и фиксацию термина относят к де Брёйну (1970-е годы)[1]. Используется в основном в приложениях (информатике, искусственном интеллекте, теории принятия решений), в применении к теории сетей Петри мультимножество называется комплектом[2]. В различных приложениях используют разную нотацию.

Формально, мультимножество на множестве определяется как упорядоченная пара , где  — это функция, сопоставляющая каждому элементу множества некоторое натуральное число, называемое кратностью этого элемента.

Один из самых простых примеров — мультимножество простых множителей целого числа. Так, например, разложение числа 120 на простые множители имеет вид: , поэтому его мультимножество простых делителей — .

Другой пример — мультимножество корней алгебраического уравнения. Например, уравнение имеет корни .

Число различных мультимножеств мощности , состоящих из элементов, выбранных из множества мощности , может быть вычислено по следующей формуле, как биномиальный коэффициент:

.

Примечания

  1. Дональд Кнут. Искусство программирования, том 2. Получисленные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.2. Seminumerical Algorithms. — 3-е изд. М.: Вильямс, 2007. — С. 832. — ISBN 0-201-89684-2.
  2. Джеймс Питерсон. Обзор теории комплектов // Теория сетей Петри и моделирование систем = Petri Net Theory and The Modelling of Systems. М.: Мир, 1984. — С. 231—235. — 264 с. 8400 экз.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.