Числа Бернулли

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $B_{0},B_{1},B_{2},\dots$ , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},

Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют последовательность A027641 в OEIS и последовательность A027642 в OEIS соответственно;
$B_{0}=1$
$B_{1}=-{\frac {1}{2}}$
$B_{2}={\frac {1}{6}}$
$B_{3}=0$
$B_{4}=-{\frac {1}{30}}$
$B_{5}=0$
$B_{6}={\frac {1}{42}}$
$B_{7}=0$
$B_{8}=-{\frac {1}{30}}$
$B_{9}=0$
$B_{10}={\frac {5}{66}}$
$B_{11}=0$
$B_{12}=-{\frac {691}{2730}}$
$B_{13}=0$
$B_{14}={\frac {7}{6}}$
$B_{15}=0$
$B_{16}=-{\frac {3617}{510}}$
$B_{17}=0$
$B_{18}={\frac {43867}{798}}$
$B_{19}=0$
$B_{20}=-{\frac {174611}{330}}$
$B_{22}={\frac {854513}{138}}$
$B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}$
$B_{26}={\frac {8553103}{6}}$
$B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}$
$B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}$
$B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}$
$B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}$
$B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}$
$B_{38}={\frac {2929993913841559}{6}}$
$B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}$
$B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}$
$B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}$
$B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}$
$B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}$
$B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}$

где ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}$ — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом $B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}$ . Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком $B_{k}$ . Кроме того, так как за исключением $B_{1}$ все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение « $B_{n}$ » для $B_{2n}$ или $|B_{2n}|$ .

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

B_{0}=1,

B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .

Свойства

Написана в 1713 году

Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме $B_{1}$ , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли $B_{n}(x)$ при $x=0$ :

B_{n}=B_{n}(0).

Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
- Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
  ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi ,$
  
  $x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,$
  
  $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.$
Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:
$B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.$

А также

B_{n}=-n\zeta (1-n)

для всех натуральных n > 1.

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$
Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:
$|B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n}}}$ при чётных $n\to \infty$ . Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: $\lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{по}}\;k\in \mathbb {Z}$ .

Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана

Литература

Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10—14.

Ссылки

Генератор Чисел Бернулли

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.