Необычное число

Необычное число — натуральное число ${\displaystyle n}$, наибольший простой множитель которого строго больше ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

Демонстрация палочками Кюизенера, что число 10 — необычное число, его наибольший простой делитель равен 5, что больше, чем √10 ≈ 3,16

У ${\displaystyle k}$-гладкого числа все простые множители меньше или равны ${\displaystyle k}$, поэтому необычное число не-${\displaystyle {\sqrt {n}}}$-гладкое.

Все простые числа необычны. Для любого простого ${\displaystyle p}$ его кратные, меньшие ${\displaystyle p^{2}}$, являются необычными, то есть ${\displaystyle p,\dots ,(p-1)p}$, у которых плотность ${\displaystyle 1/p}$ в интервале ${\displaystyle (p,p^{2})}$.

Первые несколько необычных чисел[1]:

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67…

Первые несколько непростых необычных чисел:

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102….

Если обозначить количество необычных чисел, меньших или равных ${\displaystyle n}$, через ${\displaystyle u(n)}$, то ${\displaystyle u(n)}$ ведёт себя следующим образом:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle u(n)}$	${\displaystyle u(n)/n}$
10	6	0,6
100	67	0,67
1000	715	0,72
10000	7319	0,73
100000	73322	0,73
1000000	731660	0,73
10000000	7280266	0,73
100000000	72467077	0,72
1000000000	721578596	0,72

Рихард Шрёппель установил в 1972 году, что асимптотическая вероятность того, что случайно выбранное число является необычным, равна ln (2):

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0{,}693147\dots }$