Совершенная степень
Совершенная степень — положительное целое число , являющееся целой степенью положительного целого числа : . При число называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как и для любого ).
Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для и ; первые несколько её членов (включая повторяющиеся)[1]:
Первые совершенные степени без дубликатов таковы[2]:
- (иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …
Свойства
Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как ) равна 1:
- ,
что можно доказать следующим образом:
- .
Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна[3]:
- ,
где — функция Мёбиуса, а — дзета-функция Римана.
Согласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных из последовательности совершенных степеней без единицы и дубликатов равна 1:
- ,
иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.
В 2002 году Преда Михэйлеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это , тем самым доказав гипотезу Каталана.
Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна .
Выявление совершенных степеней
Выявление того, является ли данное натуральное число совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для по каждому из делителей числа вплоть до . Если делители равны , тогда одно из значений должно быть равно , если действительно является совершенной степенью.
Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения , поскольку для составного , где — простое число, может быть переписано как . Из-за этого следует, что минимальное значение обязательно должно быть простым.
Если известна полная факторизация , например, , где — различные простые числа, то — совершенная степень тогда и только тогда, когда ( — наибольший общий делитель). Например, для : поскольку , — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).
Примечания
- последовательность A072103 в OEIS
- последовательность A001597 в OEIS
- Вайсстайн, Эрик. Perfect Power (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.