Гипотеза Пиллаи

Гипо́теза Пиллаи — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой при заданных натуральных числах ${\displaystyle A,B,C}$ уравнение:

${\displaystyle Ax^{m}-By^{n}=C}$

имеет лишь конечное число решений ${\displaystyle (x,y,m,n)}$ в натуральных числах при ${\displaystyle (m,n)\neq (2,2)}$.

Иными словами, любое натуральное число ${\displaystyle C}$ может быть представлено лишь конечным количеством разностей совершенных степеней.

Сформулирована Суббайей Пиллаи (там. சு. சி. பிள்ளை) в 1931 году как обобщение гипотезы Каталана; несмотря на то, что гипотеза Каталана доказана 2002 году Предой Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu), гипотеза Пиллаи остаётся нерешённой проблемой по состоянию на 2021 год.