Числа харшад

Числа харшад, или числа Нивена, — натуральные числа, делящиеся нацело на сумму своих цифр[1][2][3][4]. Таким числом является, например, 1729, так как 1729 = (1 + 7 + 2 + 9) × 91.

Очевидно, что все числа от 1 до 10 являются числами харшад.

Первые 50 чисел харшад, не меньших 10[3]:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Имеет смысл также рассматривать числа харшад в других системах счисления. Числа, которые являются числами харшад во всех системах счисления, называются обобщёнными числами харшад. Их всего четыре: 1, 2, 4, 6.

История

Числа харшад были исследованы индийским математиком Даттараей Рамчандрой Капрекаром. Слово «харшад» происходит от санскритского IAST: harṣa «великая радость»[4].

Оценка плотности распределения чисел харшад

Пусть $N(x)$ — количество чисел харшад, не больших $x$ , тогда для любого ε > 0

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}.

Жан-Мари де Конинк, Николас Доён[5] и Катаи[6] показали и доказали, что

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},

где

c={\frac {14}{27}}\ln 10\approx 1{,}1939.

См. также

Нивен, Айвен

Примечания

Weisstein, Eric W. Harshad Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Harshad numbers (неопр.). Numbers Aplenty.
Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits
J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Dattatreya Ramachandra Kaprekar (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive (08-2007).
De Koninck, Jean-Marie & Doyon, Nicolas (November 2003), On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Т. 41 (5): 431–440.
De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas & Katái, I. (2003), On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica Т. 106: 265–275, DOI 10.4064/aa106-3-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[mw-1] Weisstein, Eric W. Harshad Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[nap-2] Harshad numbers (неопр.). Numbers Aplenty.

[oeis-a005349-3] Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits

[mactutor-4] J. J. O'Connor, E. F. Robertson. Dattatreya Ramachandra Kaprekar (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive (08-2007).

[5] De Koninck, Jean-Marie & Doyon, Nicolas (November 2003), On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Т. 41 (5): 431–440.

[6] De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas & Katái, I. (2003), On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica Т. 106: 265–275, DOI 10.4064/aa106-3-5.