Простое число Вольстенхольма

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 109, нет[1].

Определения
Нерешённые проблемы математики: Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент[2]. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли Bp−3[3][4][5]. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары
Основная статья: иррегулярное простое число

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой[6][7].

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что[8]

то есть числитель гармонического числа делится на p3.

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде[9]. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году[10]. В то время вплоть до 1,2⋅107 не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух[11]. Позднее граница была поднята до 2⋅108 Макинтошем (McIntosh) в 1995 году[4], а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅108[12]. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅109 так и не нашли простых чисел Вольстенхольма[13].

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда Wp ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток Wp по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p[4].

См. также

Примечания
  1. Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Cook, J. D. Binomial coefficients. Дата обращения: 21 декабря 2010. Архивировано 29 января 2013 года.
  3. Clarke & Jones, 2004, p. 553
  4. McIntosh, 1995, p. 387.
  5. Zhao, 2008, p. 25
  6. Johnson, 1975, p. 114.
  7. Buhler et al. (1993), p. 152.
  8. Zhao, 2007, p. 18.
  9. Селфридж (Selfridge) и Поллак (Pollack) опубликовали первое простое число Вольстенхольма в Selfridge & Pollack, 1964, p. 97 (см. McIntosh & Roettger, 2007, p. 2092).
  10. Ribenboim, 2004, p. 23.
  11. Zhao, 2007, p. 25.
  12. Trevisan & Weber (2001), p. 283–284.
  13. McIntosh & Roettger (2007), p. 2092.

Литература

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.