Теорема Вольстенхольма

Приведём доказательство Глашиера с использованием комбинаторики и алгебры.

Пусть p — простое число, a, b — неотрицательные целые числа. Обозначим ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,a}$, ${\displaystyle j=1,\dots ,p}$ множество из a·p элементов, разделённых на a колец ${\displaystyle K_{i}=(a_{ij})}$, ${\displaystyle j=1,\dots ,p}$ длины p. На каждом кольце действует группа вращений ${\displaystyle C_{p}\cong \mathbb {Z} _{p}}$. Таким образом, на всём A действует группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{a}}$. Пусть B — произвольное подмножество множества A из b·p элементов. Множество B можно выбрать ${\displaystyle \textstyle {\binom {ap}{bp}}}$ способами. Каждая орбита множества B при действии группы ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{a}}$ содержит ${\displaystyle p^{k}}$ элементов, где k — число частичных пересечений B с кольцами ${\displaystyle K_{i}}$. Существует ${\displaystyle \textstyle {\binom {a}{b}}}$ орбит длины 1 и не существует орбит длины p. Таким образом, мы получаем теорему Беббиджа:

${\displaystyle {\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{2}}}.}$

Исключая орбиты длиной ${\displaystyle p^{2}}$, мы получаем

${\displaystyle {\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}+{\binom {a}{2}}\left({\binom {2p}{p}}-2\right){\binom {a-2}{b-1}}{\pmod {p^{3}}}.}$

Среди прочих последовательностей это сравнение в случае ${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=1}$ даёт нам общий случай второй формы теоремы Вольстенхольма.

Переключаемся с комбинаторики на алгебру и применяем полиномиальную аргументацию. Фиксируя b, мы получаем сравнение с полиномами от a в обеих его частях, верное при любых неотрицательных a. Следовательно, сравнение верно при любом целом a. В частности, при ${\displaystyle a=-1}$, ${\displaystyle b=1}$ получаем сравнение:

${\displaystyle {\binom {-p}{p}}\equiv {\binom {-1}{1}}+{\binom {-1}{2}}\left({\binom {2p}{p}}-2\right){\pmod {p^{3}}}.}$

Поскольку

${\displaystyle {\binom {-p}{p}}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{\binom {2p}{p}},}$

то

${\displaystyle 3{\binom {2p}{p}}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.}$

При ${\displaystyle p\neq 3}$ сокращаем на 3 и доказательство закончено.

Сходное сравнение по модулю ${\displaystyle p^{4}}$:

${\displaystyle {\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{4}}}}$

для всех натуральных a, b верно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=1}$, то есть тогда и только тогда, когда p — простое Вольстенхольма.

Представим биномиальный коэффициент как отношение факториалов, сократим p! и сократим p в биномиальном коэффициенте и перенесём числитель в правую часть, получаем:

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{p-1}\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3}}}}$

Левая часть — многочлен от p, перемножим скобки и в полученном многочлене отбросим степени p, большие 3, получим:

${\displaystyle a_{2}p^{2}+a_{1}p+(p-1)!\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3}}}}$

Сокращаем ${\displaystyle (p-1)!}$ и степень p вместе с модулем и затем на ${\displaystyle (p-1)!}$:

${\displaystyle a_{2}p+a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

Заметим, что

${\displaystyle a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k}},}$

${\displaystyle a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij}}.}$

Пусть ${\displaystyle T:x\mapsto gx}$ — биекция ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{+}}$ и автоморфизм ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$. Тогда

${\displaystyle a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij}}\equiv \sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{T(i)T(j)}}={\frac {1}{g^{2}}}={\frac {a_{2}}{g^{2}}}{\pmod {p}},}$

а значит ${\displaystyle a_{2}\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Наконец,

${\displaystyle a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}\Leftrightarrow 2a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$

${\displaystyle 2a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}\left({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{p-k}}\right)=-p\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}},}$

поскольку

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv \left(\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k}}\right)^{2}-a_{2}\equiv 0{\pmod {p}}}$.

Таким образом, теорема доказана.