Простое число Фибоначчи — Вифериха

Простое ${\displaystyle p>5}$ называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если ${\displaystyle p^{2}}$ делит число Фибоначчи ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$, где символ Лежандра ${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ определяется как:

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}}$

Эквивалентное определение: простое ${\displaystyle p}$ называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$, где ${\displaystyle L_{p}}$ — ${\displaystyle p}$-ое число Люка.[1]^:42

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много[2], однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2⋅10¹⁴[3], в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7⋅10¹⁴[4]. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid[5], в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5⋅10¹⁶[6]. По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8⋅10¹⁶ и продолжает поиск[6].

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall)[7], Сунь Чжихуна (Sūn Zhìhóng) и Сунь Чживэя (Sūn Zhìwěi), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого ${\displaystyle p,}$ то ${\displaystyle p}$ должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха[8]. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Простое (число) трибоначчи — Вифериха (англ. Tribonacci-Wieferich prime)[9] — простое число, удовлетворяющее условию

${\displaystyle h(p)=h(p^{2}),}$

где ${\displaystyle h(m)}$ — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

${\displaystyle \left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{\pmod {m}},}$

${\displaystyle T_{n}}$ — число трибоначчи с номером n, определённое как

${\displaystyle T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},}$

${\displaystyle T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.}$

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10¹¹, не существует[9].

• Простое число Вифериха
• Число Вильсона
• Простое число Вольстенхольма

• Crandall, Richard E. & Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer, с. 29, ISBN 0-387-94777-9

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sun-Sun prime at the Prime Pages.
• Weisstein, Eric W. Wall–Sun–Sun prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Richard McIntosh, Status of the search for Wall-Sun-Sun primes (October 2003)