Гармоническое число

В математике nгармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Гармоническое число , где (красная линия) и его асимптотический предел (синяя линия).

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
  • Также верно соотношение:
    ,
    где  — дигамма-функция,  — постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Еще одно соотношение:

Дополнительные представления

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

  • интегральные представления:
  • предельные представления:
    ;
  • разложение в ряд Тейлора в точке :
    где  — дзета-функция Римана;
  • асимптотическое разложение:
    .

Производящая функция

Свойства

Значения от нецелого аргумента

где  — золотое сечение.

Суммы, связанные с гармоническими числами

Тождества, связанные с гармоническими числами

  • , где
  • , где

Приближённое вычисление

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

где ,  — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а  — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства

  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:

Некоторые значения гармонических чисел

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.

Приложения

В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

верно при всех целых со строгим неравенством при , где  — сумма делителей числа .

См. также

Примечания

  1. Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. № 109. С. 534-543.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.