Гармоническое число
В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:
Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.
Альтернативные определения
- Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
- Также верно соотношение:
- ,
- где — дигамма-функция, — постоянная Эйлера — Маскерони.
- Еще одно соотношение:
Дополнительные представления
Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):
- интегральные представления:
- предельные представления:
- ;
- разложение в ряд Тейлора в точке :
- где — дзета-функция Римана;
Производящая функция
Свойства
Суммы, связанные с гармоническими числами
Тождества, связанные с гармоническими числами
- , где
- , где
Приближённое вычисление
С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:
где , — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а — числа Бернулли.
Теоретико-числовые свойства
- Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:
Некоторые значения гармонических чисел
Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.
Приложения
В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство
верно при всех целых со строгим неравенством при , где — сумма делителей числа .
См. также
Примечания
- Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.