Формула Эйлера — Маклорена

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах ${\displaystyle P_{n}(x)}$:

${\displaystyle R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,}$

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что ${\displaystyle f^{(2p)}}$ дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

${\displaystyle R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}}dx.}$

где ${\displaystyle n\geqslant 0}$. Можно показать, что

${\displaystyle \left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}\zeta (n),}$

где ${\displaystyle \zeta }$ обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и ${\displaystyle x=0}$. С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

${\displaystyle \left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p}}}\int \limits _{a}^{b}\left|f^{(2p)}(x)\right|dx}$

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть ${\displaystyle \Delta }$ — разностный оператор, ${\displaystyle \Sigma }$ — оператор суммирования, ${\displaystyle D}$ — оператор дифференцирования, ${\displaystyle \int }$ — оператор интегрирования. Тогда оператор ${\displaystyle \Delta }$ обратен к ${\displaystyle \Sigma }$, а ${\displaystyle D}$ обратен к ${\displaystyle \int }$. Можно выразить ${\displaystyle \Delta }$ через ${\displaystyle D}$ с помощью формулы Тейлора:

${\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2}}{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),}$

т.е. ${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$ и тогда ${\displaystyle \Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$, а поскольку ${\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$, то

${\displaystyle \sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+{\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!}}D^{k-1}.}$

Применяя это операторное соотношение к ${\displaystyle f(x)}$, получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Достаточно доказать формулу при ${\displaystyle a=0,b=1}$, поскольку мы можем любой отрезок ${\displaystyle [a;b]}$ с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в ${\displaystyle [0;1]}$. При ${\displaystyle a=0,b=1}$ формула имеет вид

${\displaystyle f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0}^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.}$

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При ${\displaystyle m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}}$. Интегрируя по частям, при ${\displaystyle u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2}}}$, мы получаем:

${\displaystyle f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.}$

Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства ${\displaystyle R_{m-1}=\left.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}+R_{m}}$, то есть нужно доказать, что

${\displaystyle \left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=m\int \limits _{0}^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{(m)}(x)dx.}$

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при ${\displaystyle u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)}$: ${\displaystyle B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)}$, поэтому формула верна благодаря тому, что

${\displaystyle \left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=\left.B_{m}(x)f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1},}$

то есть ${\displaystyle (-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)}$, а это верно, поскольку при нечётных m у нас ${\displaystyle B_{m}=0,}$.

Вычислим сумму степеней ${\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}}$. Положим ${\displaystyle f(x)=x^{m-1}}$, тогда ${\displaystyle f^{(m)}(x)=0}$ и ${\displaystyle R_{m}=0}$, вычисляя интегралы, получаем:

${\displaystyle \sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m}}\sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}B_{k}(b^{m-k}-a^{m-k}).}$

Основная статья: Ряд обратных квадратов

Вычислить сумму

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$, что и было им доказано в том же году.[1][2]

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

${\displaystyle \sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов ${\displaystyle a\to -\infty }$ или ${\displaystyle b\to +\infty }$, или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$

Здесь левая часть равна ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$, называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}$; гамма-функция ${\displaystyle \Gamma (z)}$ равна ${\displaystyle (z-1)!}$, если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение ${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}$. Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Полагаем ${\displaystyle f(x)=x^{-1}}$, тогда ${\displaystyle f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})}$ и тогда получаем

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},}$

где ${\displaystyle 0<\theta _{m,n}<1}$. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера ${\displaystyle \gamma }$.

Полагаем ${\displaystyle f(x)=\ln x}$, тогда ${\displaystyle f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}}$ и тогда получаем

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},}$

где на самом деле ${\displaystyle \sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}}$. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.