Дифференциальная теория Галуа

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}},}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sin x}{x}},}$

${\displaystyle f(x)=x^{x},}$

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным.

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Для любого дифференцируемого поля ${\displaystyle F}$ есть подполе

${\displaystyle \operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},}$

которое называется полем констант ${\displaystyle F}$. Для двух дифференциальных полей ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ поле ${\displaystyle G}$ называется логарифмическим расширением ${\displaystyle F}$, если ${\displaystyle G}$ является простым трансцендентным расширением ${\displaystyle F}$ (то есть ${\displaystyle G=F(t)}$ для некоторого трансцендентного ${\displaystyle t}$), так что

${\displaystyle {\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}}$ для некоторого ${\displaystyle s\in F}$.

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе ${\displaystyle t}$ как логарифм некоторого ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle F}$, и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в ${\displaystyle F}$, не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений ${\displaystyle F}$. Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

${\displaystyle {\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.}$

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle F}$. Наконец, ${\displaystyle G}$ называется элементарным дифференциальным расширением ${\displaystyle F}$, если имеется конечная цепочка подполей от ${\displaystyle F}$ до ${\displaystyle G}$, где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Поле ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Предположим, что ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — дифференциальные поля, для которых ${\displaystyle \operatorname {Con} F=\operatorname {Con} G}$, и ${\displaystyle G}$ является элементарным дифференциальным расширением ${\displaystyle F}$. Пусть ${\displaystyle a\in F}$, ${\displaystyle y\in G}$ и, кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {D}}y=a}$ (то есть, ${\displaystyle G}$ содержит первообразную ${\displaystyle a}$). Тогда существуют ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \operatorname {Con} F}$, ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n},v\in F}$ такие, что

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\dots +c_{n}{\frac {{\mathcal {D}}u_{n}}{u_{n}}}+{\mathcal {D}}v.}$

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.

• Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer

• Алгоритм Риша
• Элементарные функции