Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование (англ. Discrete Cosine Transform, DCT) — одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это преобразование тесно связано с дискретным преобразованием Фурье и является гомоморфизмом его векторного пространства.

Математически преобразование можно осуществить умножением вектора на матрицу преобразования. При этом матрица обратного преобразования с точностью до множителя равна транспонированной матрице. В математике матрицы выбирают так, чтобы преобразование было ортонормированным, а постоянный множитель равен единице. В компьютерных приложениях это не всегда так.

Различные периодические продолжения сигнала ведут к различным типам ДКП. Ниже приводятся матрицы для первых четырёх типов ДКП:

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}1_{n}=\left[\cos(kl{\tfrac {\pi }{n-1}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{n}=\left[\cos(k(l+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}3_{n}=\left[\cos((k+{\tfrac {1}{2}})l{\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}4_{n}=\left[\cos((k+{\tfrac {1}{2}})(l+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{n}})\right]_{0\leq k,l<n}}$

Именно ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2}$ чаще всего встречается в практических приложениях благодаря свойству «уплотнения энергии».

${\displaystyle \mathrm {DCT} }$ для вектора из 8 чисел часто называют ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$. Наиболее распространён двумерный вариант преобразования для матриц 8x8, состоящий из последовательности ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$ сначала для каждой строки, а затем для каждого столбца матрицы.

Существуют алгоритмы быстрого ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$-преобразования, похожие на алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для ${\displaystyle \mathrm {DCT} {\text{-}}2_{8}}$ и других вариантов ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$ с фиксированной размерностью вектора существуют также алгоритмы, позволяющие свести количество операций умножения к минимуму.

Существуют аналоги ${\displaystyle \mathrm {DCT} }$, приближающие косинус числами, легко получающимися путём небольшого количества операций сдвига и сложения, что позволяет избежать операций умножения и тем самым повысить скорость вычислений.