Дискретизация

Дискретиза́ция (от лат. discretio — «различать», «распознавать») — в общем случае — представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции переменной $f(x)$ — представление её множеством $n$ её значений $f(x_{0}),f(x_{1}),...f(x_{n-1})$ на заданном дискретном множестве значений аргумента $x_{0},x_{1},...x_{n-1}$ .

Дискретизация непрерывного аналогового сигнала. Выборки изображены точками на кривой. Период дискретизации обозначен

T

.

В обработке сигналов — представление аналогового непрерывного сигнала $S(t)$ совокупностью его значений, эту совокупность принято называть выборками $S(t_{0}),S(t_{1}),...S(t_{n-1})$ , взятых в моменты времени $t_{0},t_{1},...t_{n-1}$ .

В общем случае период времени от одной выборки до следующей может различаться для каждой пары соседних выборок, но обычно при обработке сигнала, выборки следуют через фиксированный и постоянный промежуток времени. Этот промежуток в таком случае называют периодом дискретизации или интервалом выборок и обычно обозначается буквой $T$ . Величину обратную периоду дискретизации $F_{s}=1/T$ называют частотой выборок или частотой дискретизации[1].

Примерами аналогового сигнала могут служить аудио- или видеосигналы, сигналы различных измерительных датчиков и др. Для последующей цифровой обработки аналоговые непрерывные сигналы обязательно предварительно подвергаются дискретизации и квантованию по уровню с помощью аналого-цифровых преобразователей.

Обратный процесс получения непрерывного аналогового сигнала, заданного дискретной совокупностью его выборок, называется восстановлением. Восстановление производится цифро-аналоговыми преобразователями.

Теория

Дискретизация гребёнкой Дирака

В математических терминах — дискретизация это умножение непрерывной функции $s(t)$ на функцию, называемую гребень Дирака $\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$ где $T$ — константа — период дискретизации и $\delta (t)$ — дельта-функция Дирака:

s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT).

Преобразование Фурье дискретной функции $s_{\mathrm {a} }(t)$ даёт её спектр $S_{\mathrm {a} }(f)$ . Согласно теореме Котельникова, если спектр $S_{\mathrm {a} }(f)$ исходной функции ограничен, то есть спектральная плотность нулевая свыше некоторой частоты $f_{max}$ , то исходная функция однозначно восстановима по совокупности её выборок, взятых с частотой дискретизации $1/T\geq 2f_{max}$ .

Для абсолютно точного восстановления необходимо подать на вход идеального фильтра нижних частот последовательность бесконечно коротких импульсов каждый с площадью равной значению выборки.

Практически невозможно идеально точно восстановить реальные сигналы по выборкам, так как во-первых, не существует сигналов с ограниченным спектром, ибо реальные сигналы ограничены во времени, что обязательно даёт спектр бесконечной ширины. Во-вторых, физически нереализуем идеальный фильтр низких частот (sinc-фильтр), в третьих, невозможны бесконечно короткие импульсы с конечной площадью.

Применение

Все сигналы в природе по сути аналоговые. Для цифровой обработки сигнала, хранения его и передачи в цифровом виде аналоговые сигналы предварительно оцифровываются. Оцифровка включает дискретизацию и квантование по уровню, производимую с помощью АЦП. После цифровой обработки, передачи, хранения цифровых данных, кодирующих сигнал, часто необходимо обратное преобразование цифрового образа сигнала в аналоговый сигнал. Например, звуковоспроизведение аудиозаписей с компакт-диска.

Также дискретизация применяется в системах аналоговой импульсной модуляции.

Практически восстановление аналогового сигнала по совокупности выборок производится с той или иной степенью точности, причём точность восстановления тем выше, чем выше частота дискретизации и число уровней квантования каждой выборки. Но чем больше частота дискретизации и число уровней квантования, тем больше требуется ресурсов для обработки, хранения, передачи оцифрованных данных. Поэтому частоту дискретизации и разрядность АЦП практически выбирают исходя из разумного компромисса.

Например, при цифровой передаче голоса для хорошей разборчивости речи достаточна частота дискретизации 8 кГц.

Высококачественное воспроизведение музыкальных произведений с компакт-дисков (CD) в современном стандарте производится с частотой дискретизации 44,1 кГц (CD), 48 кГц, 88,2 кГц или 96 кГц, что обеспечивает высококачественное воспроизведение звука во всей полосе слышимых частот 20 Гц — 20 кГц[2].

Оцифровка телевизионного видеосигнала с полосой частот 6 МГц производится с частотой дискретизации свыше 10 МГц[3].

См. также

Примечания

Преобразование непрерывного информационного множества аналоговых сигналов в дискретное множество называется дискретизацией или квантованием по уровню (ср. «Квантование по времени»). Квантование по уровню широко используется в цифровых автоматах. При квантовании по уровню производится отображение всевозможных значений величины $x$ на дискретную область, состоящую из величин ${\overset {-}{x}}$ уровня квантования.
— Самофалов К. Г., Романкевич А. М., Валуйский В. Н., Каневский Ю. С., Пиневич М. М. 1.3 Дискретизация информации // Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.
MT-001: Taking the Mystery out of the Infamous Formula, "SNR=6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care (неопр.).
Словарь по кибернетике, стр. 168 / Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — Киев: 1989. — 751 с., ISBN 5-88500-008-5

Литература

Самофалов К. Г., Романкевич А. М., Валуйский В. Н., Каневский Ю. С., Пиневич М. М. Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.

Ссылки

Квантование сигнала — статья из Большой советской энциклопедии.
Sampling of analog signals Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Преобразование непрерывного информационного множества аналоговых сигналов в дискретное множество называется дискретизацией или квантованием по уровню (ср. «Квантование по времени»). Квантование по уровню широко используется в цифровых автоматах. При квантовании по уровню производится отображение всевозможных значений величины $x$ на дискретную область, состоящую из величин ${\overset {-}{x}}$ уровня квантования.
— Самофалов К. Г., Романкевич А. М., Валуйский В. Н., Каневский Ю. С., Пиневич М. М. 1.3 Дискретизация информации // Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.

[2] MT-001: Taking the Mystery out of the Infamous Formula, "SNR=6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care (неопр.).

[3] Словарь по кибернетике, стр. 168 / Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — Киев: 1989. — 751 с., ISBN 5-88500-008-5