Спектральная плотность

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс ${\displaystyle x(t)}$ имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

${\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.}$

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

${\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.}$

(2)

Функция ${\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}}$ характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу ${\displaystyle x(t)}$, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

${\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau .}$

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной ${\displaystyle S_{x}(f)}$ определяет ${\displaystyle k_{x}(\tau )}$:

${\displaystyle k_{x}(\tau )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.}$

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно ${\displaystyle f=0}$ и ${\displaystyle \tau =0}$, имеем

${\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )d\tau ,}$

(5)

${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.}$

(6)

Формула (6) с учётом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину ${\displaystyle S_{x}(f)df}$ можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от ${\displaystyle f-df/2}$ до ${\displaystyle f+df/2}$. Если понимать под ${\displaystyle x(t)}$ случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина ${\displaystyle S_{x}(f)}$ будет иметь размерность энергии [В²/Гц] = [В²с]. Поэтому ${\displaystyle S_{x}(f)}$ иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину ${\displaystyle S_{x}(f)}$ называют спектром мощности случайного процесса.