Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье[1].

Формулы преобразований

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Вторая часть выражения следует из первой по формуле Эйлера.

Обозначения:

  •  — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;
  •  — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами ), которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;
  •  — комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;
  •  — обычная (вещественная) амплитуда -го синусоидального сигнала;
  •  — индекс частоты. Частота -го сигнала равна , где  — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от колебания за период до колебаний за период (плюс константа). Поскольку частота дискретизации сама по себе равна отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Вывод преобразования

Рассмотрим некоторый периодический сигнал c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:

Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов: , где , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:

Используя соотношение: , получаем:

    где    

Таким образом мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.

Умножим теперь скалярно выражение для на и получим:

Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:

Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье.

В литературе принято писать множитель в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:

Иногда можно встретить симметричную форму записи преобразования

Матричное представление

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:

матрица имеет вид:

Элементы матрицы задаются следующей формулой:

, где .

Собственные числа матрицы — корни четвёртой степени из единицы , имеющие кратность , , и соответственно, где округлённое вниз число .

Применение к умножению чисел

Дискретное преобразование Фурье вектора может быть интерпретировано как вычисление значений многочлена в корнях из единицы , , , …, .

Значения многочлена -й степени в точках однозначно определяют сам многочлен. В то же время, если и , то , потому по значениям многочленов и можно также определить значения в тех же точках многочлена и восстановить его обратным дискретным преобразованием Фурье.

Так как любое число представимо в виде многочлена от основания системы счисления , умножение двух чисел может быть в свою очередь сведено к умножению двух многочленов и нормализации результата.

Свойства

  1. Линейность
  2. Сдвиг по времени
  3. Периодичность
  4. Выполняется Теорема Парсеваля.
  5. Обладает спектральной плотностью


  6. Нулевая гармоника является суммой значений сигнала.

См. также

Литература

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1.

Примечания

  1. Федоренко С. В. - Модификация алгоритма Грецеля-Блейхута. - Статья. - Журнал Приборостроение. - УДК 621.391

Ссылки

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (недоступная ссылка). Дата обращения: 15 ноября 2010. Архивировано 1 января 2012 года.

Свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (недоступная ссылка). Дата обращения: 15 ноября 2010. Архивировано 8 мая 2012 года.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.