Теория автоматического управления

${\displaystyle W_{0}(p)={\frac {A(p)}{B(p)}}}$

${\displaystyle W_{0}(p)={\frac {K_{0}}{T_{0}p}}e^{-p\tau }}$

Статистические характеризуются набором статистических параметров и функций распределения. Для их исследования используются методы математической статистики.

Адаптивные используют для описания объекта управления детерминированно-стохастические методы.

W_э(p) = W₁(p)W₂(p)…W_n(p) = ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}W_{i}}$(p)

W_э(p) = W₁(p) + W₂(p) + … + W_n(p) = ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}W_{i}}$(p)

• W_OC(p) — уравнение, описывающее цепь обратной связи
• W(p) — уравнение, описывающее звено
• G(p) — уравнение, описывающее входное воздействие
• U_OC(p) — уравнение, описывающее выходной сигнал звена обратной связи
• ΔU(p) — уравнение, описывающее сумму (разность) G(p) и U_OC(p)
• Y(p) — уравнение, описывающее выходной сигнал системы

${\displaystyle f(n)=\left\{{\begin{matrix}Y(p)=W(p)\Delta U(p)\\U_{OC}(p)=W_{OC}(p)Y(p)\\\Delta U(p)=G(p)\mp U_{OC}(p)\end{matrix}}\right.}$

Решая данную систему уравнений, получим следующие результаты:

${\displaystyle Y(p)=W(p)(G(p)\mp W_{OC}(p)Y(p))}$

${\displaystyle Y(p)\pm W(p)W_{OC}(p)Y(p)=W(p)G(p)}$

${\displaystyle Y(p)={{W(p)G(p)} \over {1\pm W(p)W_{OC}(p)}}}$

${\displaystyle W_{\ni }(p)={Y(p) \over G(p)}={W(p) \over 1\pm W(p)W_{OC}(p)}}$

Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:

Коэффициенты	Строки	столбец 1	столбец 2	столбец 3
	1	${\displaystyle C_{11}=a_{0}=T_{1}T_{2}T_{3}}$	${\displaystyle C_{12}=a_{2}=T_{1}+T_{2}+T_{3}}$	${\displaystyle C_{13}=a_{4}}$
	2	${\displaystyle C_{21}=a_{1}=T_{1}T_{2}+T_{2}T_{3}+T_{1}+T_{3}}$	${\displaystyle C_{22}=a_{3}=1+k}$	${\displaystyle C_{23}=a_{5}}$
${\displaystyle r_{3}={\frac {C_{11}}{C_{21}}}}$	3	${\displaystyle C_{31}=C_{12}-r_{3}C_{22}}$	${\displaystyle C_{32}=C_{13}-r_{3}C_{23}}$	${\displaystyle C_{33}=C_{14}-r_{3}C_{24}}$
${\displaystyle r_{4}={\frac {C_{21}}{C_{31}}}}$	4	${\displaystyle C_{41}=C_{22}-r_{4}C_{32}}$	${\displaystyle C_{42}=C_{23}-r_{4}C_{33}}$	${\displaystyle C_{43}=C_{24}-r_{4}C_{34}}$

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.

${\displaystyle D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n}}$

${\displaystyle \Delta _{n}=a_{n}\cdot \Delta _{n-1}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&...&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&...&0\\0&a_{1}&a_{3}&...&0\\...&...&...&...&...\\0&...&...&...&a_{n}\end{vmatrix}}}$ — определитель Гурвица

Теорема: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при ${\displaystyle a_{0}>0.}$

${\displaystyle D(p)=a_{0}p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n}}$

Заменим ${\displaystyle p=j\omega }$ , где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.

${\displaystyle D(j\omega )=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{j\psi (\omega )}}$

${\displaystyle X(\omega )=a_{n}-a_{n-2}\omega ^{2}+...}$

${\displaystyle Y(\omega )=a_{n-1}\omega -a_{n-3}\omega ^{3}+...}$

Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах ${\displaystyle X(\omega ),Y(\omega )}$, проходила последовательно через n квадрантов.

${\displaystyle D(p)=a_{0}(p-p_{1})(p-p_{2})...(p-p_{n})}$

${\displaystyle p=j\omega \Rightarrow D(j\omega )=a_{0}(j\omega -p_{1})(j\omega -p_{2})...(j\omega -p_{n})}$

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения — отрицательное вещественное число ${\displaystyle p_{1}=-\alpha _{1}}$

Соответствующий данному корню сомножитель ${\displaystyle (\alpha _{1}+j\omega )}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=-\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}$

2) Корень характеристического уравнения — положительное вещественное число ${\displaystyle p_{1}=+\alpha _{1}}$

Соответствующий данному корню сомножитель ${\displaystyle (\alpha _{1}-j\omega )}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{1}=+\alpha _{1}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -{\frac {\pi }{2}}}$

3) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с отрицательной вещественной частью ${\displaystyle p_{2,3}=-\alpha _{1}\pm j\beta }$

Соответствующий данному корню сомножитель ${\displaystyle (j\omega +\alpha _{1}-j\beta )(j\omega +\alpha _{1}+j\beta )}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=-\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=-\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}-\gamma \\\psi _{3}\rightarrow +{\frac {\pi }{2}}+\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow +2{\frac {\pi }{2}}=+\pi }$ , где ${\displaystyle \gamma =\operatorname {arctg} {\frac {\beta }{\alpha }}}$

4) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с положительной вещественной частью ${\displaystyle p_{2,3}=+\alpha _{1}\pm j\beta }$

Соответствующий данному корню сомножитель ${\displaystyle (j\omega -\alpha _{1}-j\beta )(j\omega -\alpha _{1}+j\beta )}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\omega \rightarrow +{\mathcal {1}}\\p_{2}=+\alpha _{1}+j\beta \\p_{3}=+\alpha _{1}-j\beta \end{matrix}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}\psi _{2}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}+\gamma \\\psi _{3}\rightarrow -{\frac {\pi }{2}}-\gamma \end{matrix}}\right.\Rightarrow \psi \rightarrow -2{\frac {\pi }{2}}=-\pi }$ , где ${\displaystyle \gamma =\operatorname {arctg} {\frac {\beta }{\alpha }}}$

Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома ${\displaystyle W(p)={\frac {R(p)}{Q(p)}}={\frac {b_{0}p^{n}+b_{1}p^{n-1}+...+b^{n}}{a_{0}p^{m}+a_{1}p^{m-1}+...+a^{m}}}}$

тогда сделаем подстановку ${\displaystyle p=j\omega }$ и получим: ${\displaystyle W(j\omega )={\frac {R(j\omega )}{Q(j\omega )}}(*)=X(\omega )+jY(\omega )=A(\omega )e^{j\psi (\omega )}}$

Для более удобного построения годографа при n>2 приведём уравнение (*) к «стандартному» виду: ${\displaystyle W(j\omega )={\frac {K(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})[(1-\tau _{3}^{2}\omega ^{2})+2j\xi _{3}\tau _{3}\omega ]...}{(j\omega )'[(1-T_{2}^{2}\omega ^{2})+2j\xi _{2}T_{2}\omega ](-1+j\omega T_{3})...}}}$

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции:

Сомножитель	${\displaystyle A(\omega )}$	${\displaystyle \psi (\omega )}$
k	k	0
p	ω	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle p^{2}}$	${\displaystyle \omega ^{2}}$	${\displaystyle \pi }$
${\displaystyle Tp+1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {arctg} \omega T}$
${\displaystyle Tp-1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle \pi -\operatorname {arctg} \omega T}$
${\displaystyle 1-Tp}$	${\displaystyle {\sqrt {1+T^{2}\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle -\operatorname {arctg} \omega T}$
${\displaystyle T^{2}p^{2}+1}$	${\displaystyle \left|1-T^{2}\omega ^{2}\right|}$	${\displaystyle {\begin{matrix}0,&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi ,&\omega >{\frac {1}{T}}\end{matrix}}}$
${\displaystyle T^{2}p^{2}+2\xi Tp+1}$	${\displaystyle {\sqrt {(1-T^{2}\omega ^{2})^{2}+4\xi ^{2}T^{2}\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arctg} {\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega <{\frac {1}{T}}\\\pi +\operatorname {arctg} {\frac {2\xi \omega T}{1-T^{2}\omega ^{2}}},&\omega \geqslant {\frac {1}{T}}\end{matrix}}}$

После чего построим годограф для вспомогательной функции ${\displaystyle W_{1}(j\omega )=1+W(j\omega )}$ , для чего будем изменять ${\displaystyle \omega [0;{\mathcal {1}})}$

При ${\displaystyle \omega =0,\quad W_{1}(j\omega )=K+1}$ , а при ${\displaystyle \omega ={\mathcal {1}},\quad W_{1}(j\omega )=1}$ (так как n<m и ${\displaystyle W(j\omega )=0}$ )

Для определения результирующего угла поворота найдём разность аргументов числителя ${\displaystyle \psi _{1}}$ и знаменателя ${\displaystyle \psi _{2}}$

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует ${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}}$ , следовательно, результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции ${\displaystyle W(j\omega )}$ , соответственно, точку с координатами ${\displaystyle (-1;j0)}$

• Критерий Рауса: чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были больше какой-то фиксированной величины ε>0, называемой коэффициентом запаса устойчивости.
• Критерий Гурвица: запас устойчивости определяется аналогично запасу устойчивости Рауса, только ε характеризует значение определителя Гурвица.
• Критерий Михайлова: вписывается окружность ненулевого радиуса с центром в точке О (0; 0). Запас определяется радиусом этой окружности. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с окружностью.
• Критерий Найквиста: здесь критической является точка (-1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой будет представлять коэффициент запаса устойчивости.

Частотный критерий Найквиста применим, главным образом, когда трудно получить фазовые характеристики экспериментально. Однако вычисление АФХ, особенно частотных, сложнее, чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчива ли система, то есть требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от критерия Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учётом влияния каждого звена, что придаёт критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.