Наблюдаемость (теория управления)

Система называется наблюдаемой, если на конечном интервале времени по выходу системы в конце этого интервала ${\displaystyle y(t_{1})\in \mathbb {R} ^{q}}$ при известном управляющем воздействии ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}$ можно определить все начальные компоненты вектора состояния ${\displaystyle x(t_{0})\in \mathbb {R} ^{n}}$'.

Соответственно наблюдаемыми состояниями системы являются те компоненты вектора состояния, которые можно восстановить по условиям, приведённым выше.

Более формально можно сказать, что наблюдаемость позволяет по выходу системы судить о процессах, происходящих внутри неё. Ввиду того, что состояния системы играют важную роль в управлении с помощью обратных связей, важно, чтобы они были наблюдаемыми.

Для линейных систем существует критерий наблюдаемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка ${\displaystyle n}$ (с ${\displaystyle n}$ компонентами вектора состояния), ${\displaystyle p}$ входами и ${\displaystyle q}$ выходами, записанная в виде:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}$

где

${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$; ${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}$; ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}$;

${\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p}$, ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}}$.

здесь ${\displaystyle x(\cdot )}$ — «вектор состояния», ${\displaystyle y(\cdot )}$ — «вектор выхода», ${\displaystyle u(\cdot )}$ — «вектор входа», ${\displaystyle A(\cdot )}$ — «матрица системы», ${\displaystyle B(\cdot )}$ — «матрица входа», ${\displaystyle C(\cdot )}$ — «матрица управления», ${\displaystyle D(\cdot )}$ — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу наблюдаемости:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\\vdots \\CA^{n-1}\end{bmatrix}}}$

Согласно критерию наблюдаемости если ранг матрицы наблюдаемости равен ${\displaystyle n}$, система является наблюдаемой[1].

• Brockett, R. W.. Finite dimensional linear systems (англ.). — John Wiley & Sons, 1970.

• Управляемость

• Лекции по теории автоматического управления