Регулярное простое число
В теории чисел регулярное простое число — всякое простое число р, для которого число классов идеалов кругового поля не делится на р. Все остальные простые нечётные числа называются иррегулярными.
Несколько первых регулярных простых чисел[1]:
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …
Свойства
Регулярные числа — это в точности куммеровы простые числа, однако доказывается это довольно сложно. Для проверки числа на куммеровость может быть использован так называемый критерий Куммера: p куммерово тогда и только тогда, когда числители всех чисел Бернулли не делятся на p.
Предполагается, что регулярных простых чисел бесконечно много, однако это утверждение не доказано.
Регулярные числа ввел Куммер[2] при попытке доказательства теоремы Ферма. Одна из полученных теорем, с учётом совпадения регулярности и куммеровости, утверждает следующее:
- Если простое p регулярно, то для него уравнение не имеет решений в натуральных числах.
Иррегулярное простое число
Простое число, не являющееся регулярным, называется иррегулярным простым числом. Несколько первых иррегулярных простых чисел[3]:
Иенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых чисел.
Иррегулярные пары
Если p — иррегулярное простое число, то p делит без остатка числитель числа Бернулли B2k для некоторого чётного индекса 2k в интервале 0 < 2k < p −1. При этом пара чисел (p, 2k) называется иррегулярной парой. Первые несколько иррегулярных пар[4]:
- (691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …
Для заданного простого p число таких пар называется индексом нерегулярности числа p. Таким образом, простое число регулярно тогда и только тогда, когда индекс иррегулярности равен нулю. Аналогично, простое число иррегулярно тогда и только тогда, когда его индекс иррегулярности положителен.
Обнаружено, что при p < 30000 пара (p, p−3) является иррегулярной лишь для простого числа Вольстенхольма p = 16843.
Примечания
Литература
- Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982.
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
- Ernst Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Math. — 1850. — Вып. 40. — С. 131—138.