Круговое поле

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_{3}$ состоит из комплексных чисел вида $a+b{\sqrt {3}}\ i$ , где $a,b$ — рациональные числа.

Свойства

Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
- Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена $x^{n}-1$ .
$K_{4n+2}=K_{2n+1}$ , поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 $(n\not \equiv 2{\pmod {4}})$ . При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
Поле $K_{n}$ является абелевым расширением поля ${\mathbb {Q} }$ с группой Галуа $G(K_{n}/{\mathbb {Q} })\simeq (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$

где

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}

— мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения

[K_{n}:{\mathbb {Q} }]

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.

Milne, James S. Algebraic Number Theory (неопр.). Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.