Абелево расширение

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

Например, расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$ является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$. Расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {3}}i]}$ не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена ${\displaystyle x^{3}-2}$ и его автоморфизмы, фиксирующие ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени ${\displaystyle n}$, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени ${\displaystyle n}$ из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая^{[уточнить]} это утверждение не является верным.

Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.