Первообразный корень из единицы
Первообразный корень (или примитивный корень) степени из единицы в поле ― это такой элемент , что и для любого натурального .
Если ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня образуют циклическую группу корней порядка из единицы.
Свойства
- Если в поле существует первообразный корень степени , то взаимно просто с характеристикой поля .
- Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
- Если ― первообразный корень степени , то для любого взаимно простого с , элемент также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени (когда они существуют) равно значению функции Эйлера .
- В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:
- ,
- где взаимно просто с .
- В конечном поле , где q — степень простого числа, первообразный корень степени является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
- Milne, James S. Algebraic Number Theory . Course Notes (2014).
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.