Поле разложения

По́ле разложе́ния многочлена p над полем ${\displaystyle K}$ — наименьшее расширение ${\displaystyle L}$ поля ${\displaystyle K,}$ над которым ${\displaystyle p}$ разлагается в произведение линейных множителей:

${\displaystyle p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),}$ где ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.}$

При этом ${\displaystyle L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),}$ то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля ${\displaystyle K}$ и чисел ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле ${\displaystyle L}$ разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к ${\displaystyle K}$ всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов ${\displaystyle p_{i}(x),i\in I}$ — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂, …, p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂…p_n.

Поля разложения является нормальным расширением. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.