Число Оре

Для любого целого числа ${\displaystyle M}$ произведение гармонического среднего и среднего арифметического его делителей равно самому числу ${\displaystyle M}$, что непосредственно следует из определений. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре с гармоническим средним делителей ${\displaystyle k}$ в том и только в том случае, когда среднее арифметическое делителей является частным от деления ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle k}$.

Оре показал, что любое совершенное число является числом Оре. Так как сумма делителей совершенного числа ${\displaystyle M}$ в точности равна ${\displaystyle 2M}$, среднее делителей равно ${\displaystyle M(2/\tau (M))}$, где ${\displaystyle \tau (M)}$ означает число делителей числа ${\displaystyle M}$. Для любого ${\displaystyle M}$ число ${\displaystyle \tau (M)}$ нечётно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M}$ является полным квадратом, в противном случае каждому делителю ${\displaystyle d}$ числа ${\displaystyle M}$ можно сопоставить другой делитель — ${\displaystyle M/d}$. Но никакое совершенное число не может быть полным квадратом, это следует из известных свойств чётных совершенных чисел, а нечётные совершенные числа (если такие существуют) должны иметь множитель вида ${\displaystyle q^{\alpha }}$, где ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}}$. Таким образом, для совершенного числа ${\displaystyle M}$ число делителей ${\displaystyle \tau (M)}$ чётно и среднее делителей является произведением ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle 2/\tau (M)}$. Таким образом, ${\displaystyle M}$ является числом Оре.

Оре высказал предположение, что не существует нечётных чисел Оре, кроме 1. Если гипотеза верна, то нечётных совершенных чисел не существует.

Показано, что любое нечётное число Оре, большее 1, должно иметь степень простого делителя больше 10⁷, а также, что любое такое число должно иметь по меньшей мере три различных простых делителя. Кроме того, установлено, что не существует нечётных чисел Оре, меньших 10²⁴.

Предпринимались попытки получить с помощью компьютера список всех малых чисел Оре, в результате были найдены все числа Оре до 2×10⁹ и все числа, для которых гармоническое среднее не превышает 300.

• Bogomolny, Alexander. An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Cohen, Graeme L. Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean // Mathematics of Computation. — 1997. — Т. 66. — С. 883–891. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00819-3.

• Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Odd harmonic numbers exceed 10²⁴ // Mathematics of Computation. — 2010. — Т. 79, вып. 272. — С. 2451. — ISSN 0025-5718. — doi:10.1090/S0025-5718-10-02337-9. Опубликовано в электроном виде 9 апреля 2010.

• Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers (неопр.). Дата обращения: 10 сентября 2006.

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2.

• Joseph B. Muskat. On Divisors of Odd Perfect Numbers // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1966. — Т. 20, вып. 93. — С. 141–144. — doi:10.2307/2004277. — .

• Øystein Ore. On the averages of the divisors of a number // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1948. — Т. 55. — С. 615–619. — doi:10.2307/2305616. — .

• Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.