Сверхсоставное число
Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.
История
Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако Жан-Пьер Кахане рассматривал их раньше, и, возможно, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.[1]
Примеры
В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).
номер | Сверхсоставное | разложение на простые |
число делителей |
разложение на |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | ||
2 | 2 | 2 | ||
3 | 4 | 3 | ||
4 | 6 | 4 | ||
5 | 12 | 6 | ||
6 | 24 | 8 | ||
7 | 36 | 9 | ||
8 | 48 | 10 | ||
9 | 60 | 12 | ||
10 | 120 | 16 | ||
11 | 180 | 18 | ||
12 | 240 | 20 | ||
13 | 360 | 24 | ||
14 | 720 | 30 | ||
15 | 840 | 32 | ||
16 | 1260 | 36 | ||
17 | 1680 | 40 | ||
18 | 2520 | 48 | ||
19 | 5040 | 60 | ||
20 | 7560 | 64 | ||
21 | 10080 | 72 | ||
22 | 15120 | 80 | ||
23 | 20160 | 84 | ||
24 | 25200 | 90 | ||
25 | 27720 | 96 | ||
26 | 45360 | 100 | ||
27 | 50400 | 108 | ||
28 | 55440 | 120 | ||
29 | 83160 | 128 | ||
30 | 110880 | 144 | ||
31 | 166320 | 160 | ||
32 | 221760 | 168 | ||
33 | 277200 | 180 | ||
34 | 332640 | 192 | ||
35 | 498960 | 200 | ||
36 | 554400 | 216 | ||
37 | 665280 | 224 | ||
38 | 720720 | 240 |
Разложение на простые
В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.
По основной теореме арифметики каждое натуральное число имеет единственное разложение на простые:
где простые, и степени положительные целые числа. Число делителей числа можно выразить следующим образом:
Таким образом, для сверхсоставного числа выполняется следующее
- Числа являются первыми простыми числами.
- Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть .
- Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
- За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень равна единице.
В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.
Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.
Асимптотический рост и плотность
Существуют постоянные a и b, обе больше, чем 1, такие, что
Где обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных .
Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдешем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас в 1988 году.
Известно также, что
и
Свойства
- Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными.
- Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
- первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.
Примечания
- Kahane, Jean-Pierre (February 2015), Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society Т. 62 (2): 136–140.
Ссылки
- Ramanujan, S. Highly composite numbers (неопр.) // Proc. London Math. Soc. (2). — 1915. — Т. 14. — С. 347—409. — doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. (online Архивная копия от 3 сентября 2014 на Wayback Machine)
- Handbook of number theory I (неопр.). — Dordrecht: Springer-Verlag, 2006. — С. 45—46. — ISBN 1-4020-4215-9.
- Erdös, P. On highly composite numbers (неопр.) // Лондонское математическое общество. — 1944. — Т. 19. — С. 130—133. — doi:10.1112/jlms/19.75_part_3.130.
- Alaoglu, L. On highly composite and similar numbers (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 56, no. 3. — P. 448—469. — doi:10.2307/1990319.
- Ramanujan, Srinivasa Highly composite numbers (англ.) // Ramanujan Journal : journal. — 1997. — Vol. 1, no. 2. — P. 119—153. — doi:10.1023/A:1009764017495. Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.
Ссылки
Литература
- О. Оре. Приглашение в теорию чисел. — М.: Наука, 1980. — 128 с. — (выпуск 3 серии «Библиотечка квант»). — 150 000 экз.