Гиперсовершенное число

Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.

Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число, а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа, тогда p²q k-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.

Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что ${\displaystyle q=p^{i}-p+1}$ — простое, ${\displaystyle n=p^{i-1}\cdot q}$ является k-гиперсовершенным.

В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:

Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.

Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как

   δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)

Число n называется k-гипернедостаточным, если δ_k(n) > 0.

Заметим, что при k = 1 получается δ₁(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δ_k(n) = 0.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δ_k-j(n) = -δ_{k + j}(n) для хотя бы одного j>0.

• Handbook of number theory I (неопр.) / Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav. — Dordrecht: Springer-Verlag, 2006. — С. 114. — ISBN 1-4020-4215-9.

• MathWorld: Hyperperfect number
• A long list of hyperperfect numbers under Data