Числа Люка

Последовательность ${\displaystyle L_{n}}$ можно выразить как функцию от n:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение. При n > 1 число |(−φ)⁻ⁿ| меньше 0,5 и с ростом n всё сильнее приближается к нулю, а значит, при n > 1 числа Люка выражаются в виде ${\displaystyle L_{n}=\lfloor \varphi ^{n}\rceil ,}$ где ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ — функция округления к ближайшему целому.

Примечательно, что числа Фибоначчи ${\displaystyle F_{n}}$ выражаются похожим образом с помощью формулы Бине:

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right].}$

Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число p простым, возьмём (p + 1)-ое число Люка, вычтем из него единицу — и если полученное число не делится на p нацело, то p гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.

В качестве примера проверим, является ли число 14 простым. 15-ое число Люка — 843.

${\displaystyle {\cfrac {843-1}{14}}=60.142857\ldots }$

Следовательно, число 14 явно не простое.

Числа Люка связаны с числами Фибоначчи следующим формулами

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, и при стремлении ${\displaystyle n}$ к +∞ отношение ${\displaystyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}$ стремится к ${\displaystyle {\sqrt {5}}.}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$

Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле:

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}}$

Эдуард Люка ввел понятие «обобщённых последовательностей Фибоначчи», частным случаем которых являются числа Фибоначчи и числа Люка

${\displaystyle {\begin{matrix}F_{n}=U_{n}(1,-1)\\L_{n}=V_{n}(1,-1)\end{matrix}}}$