Простое число Вильсона

Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона) — это простое число $p$ , такое, что $p^{2}$ делит $(p-1)!+1$ , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое $p$ делит $(p-1)!+1$ .

Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅10¹³.[1]

Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).[2]

Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:

\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv p-1{\pmod {p^{2}}}

.

Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.[3][4][5]

Проект распределённых вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона.[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.[7]

Обобщения

Почти простые Вильсона

Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p²) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 10⁶ до 4⋅10¹¹:[1]

p	B
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Числа Вильсона

Число Вильсона — это целое m, такое, что W(m) ≡ 0 (mod m), где W(m) означает дробь Вильсона

W(m)={\frac {(m-1)!+1}{m}}

(последовательность A157250 в OEIS).

Если m — простое, то оно будет и простым Вильсона. С учётом числа $1$ имеется 13 чисел Вильсона до 5⋅10⁸.[8]

См. также

Примечания

A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
The Prime Glossary: Wilson prime
McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999) (неопр.). E-Mail to Paul Zimmermann (9 марта 2004). Дата обращения: 6 июня 2011. Архивировано 29 января 2013 года.
A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
Ribenboim, P.; Keller, W. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (нем.). — Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006. — S. 241. — ISBN 3-540-34283-4.
Ibercivis site (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано 20 июня 2012 года.
Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)
Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula. Wilson quotients for composite moduli (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 222. — P. 843—861. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

Литература

N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p²) (англ.) // The Messenger of Mathematics : journal. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1953. — Vol. 28, no. 2. — P. 252—256. — doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
Paulo Ribenboim The new book of prime number records (неопр.). — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 433—449. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (англ.). — Springer-Verlag, 2001. — P. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2^p−1 ≡ 1 (mod p²) (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.

Ссылки

The Prime Glossary: Wilson prime (недоступная ссылка)
Weisstein, Eric W. Wilson prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Status of the search for Wilson primes (англ.)
Wilson Quotients for composite moduli (англ.)
On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson (недоступная ссылка)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Search-1] A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.

[2] The Prime Glossary: Wilson prime

[3] McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999) (неопр.). E-Mail to Paul Zimmermann (9 марта 2004). Дата обращения: 6 июня 2011. Архивировано 29 января 2013 года.

[4] A search for Wieferich and Wilson primes, p 443

[5] Ribenboim, P.; Keller, W. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (нем.). — Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006. — S. 241. — ISBN 3-540-34283-4.

[6] Ibercivis site (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано 20 июня 2012 года.

[7] Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)

[8] Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula. Wilson quotients for composite moduli (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 222. — P. 843—861. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион