Простое число Вильсона
Простое число Вильсона (названо в честь английского математика Джона Вильсона) — это простое число , такое, что делит , где «!» означает факториал. Заметьте, что по теореме Вильсона любое простое делит .
Известны только три простых числа Вильсона — это 5, 13 и 563 (последовательность A007540 в OEIS). Если существуют другие, они должны быть больше 2⋅1013.[1]
Была высказана гипотеза, что существует бесконечно много простых чисел Вильсона, и их количество в интервале [x, y] около log(log(y)/log(x)).[2]
Также была выдвинута гипотеза (см. комментарии к последовательности в OEIS), что p — число Вильсона тогда и только тогда, когда:
- .
Было предпринято несколько попыток поиска простых чисел Вильсона.[3][4][5]
Проект распределённых вычислений Ibercivis включает поиск простых чисел Вильсона.[6] Другой поиск координируется проектом mersenneforum.[7]
Обобщения
Почти простые Вильсона
Простые p, для которых выполняется (p − 1)! ≡ − 1 + Bp (mod p2) для малых |B| могут быть названы почти простыми Вильсона. Почти простые Вильсона с B = 0 представляют собой простые числа Вильсона. Следующая таблица дает список всех таких чисел с |B| ≤ 100 от 106 до 4⋅1011:[1]
p | B |
---|---|
1282279 | +20 |
1306817 | −30 |
1308491 | −55 |
1433813 | −32 |
1638347 | −45 |
1640147 | −88 |
1647931 | +14 |
1666403 | +99 |
1750901 | +34 |
1851953 | −50 |
2031053 | −18 |
2278343 | +21 |
2313083 | +15 |
2695933 | −73 |
3640753 | +69 |
3677071 | −32 |
3764437 | −99 |
3958621 | +75 |
5062469 | +39 |
5063803 | +40 |
6331519 | +91 |
6706067 | +45 |
7392257 | +40 |
8315831 | +3 |
8871167 | −85 |
9278443 | −75 |
9615329 | +27 |
9756727 | +23 |
10746881 | −7 |
11465149 | −62 |
11512541 | −26 |
11892977 | −7 |
12632117 | −27 |
12893203 | −53 |
14296621 | +2 |
16711069 | +95 |
16738091 | +58 |
17879887 | +63 |
19344553 | −93 |
19365641 | +75 |
20951477 | +25 |
20972977 | +58 |
21561013 | −90 |
23818681 | +23 |
27783521 | −51 |
27812887 | +21 |
29085907 | +9 |
29327513 | +13 |
30959321 | +24 |
33187157 | +60 |
33968041 | +12 |
39198017 | −7 |
45920923 | −63 |
51802061 | +4 |
53188379 | −54 |
56151923 | −1 |
57526411 | −66 |
64197799 | +13 |
72818227 | −27 |
87467099 | −2 |
91926437 | −32 |
92191909 | +94 |
93445061 | −30 |
93559087 | −3 |
94510219 | −69 |
101710369 | −70 |
111310567 | +22 |
117385529 | −43 |
176779259 | +56 |
212911781 | −92 |
216331463 | −36 |
253512533 | +25 |
282361201 | +24 |
327357841 | −62 |
411237857 | −84 |
479163953 | −50 |
757362197 | −28 |
824846833 | +60 |
866006431 | −81 |
1227886151 | −51 |
1527857939 | −19 |
1636804231 | +64 |
1686290297 | +18 |
1767839071 | +8 |
1913042311 | −65 |
1987272877 | +5 |
2100839597 | −34 |
2312420701 | −78 |
2476913683 | +94 |
3542985241 | −74 |
4036677373 | −5 |
4271431471 | +83 |
4296847931 | +41 |
5087988391 | +51 |
5127702389 | +50 |
7973760941 | +76 |
9965682053 | −18 |
10242692519 | −97 |
11355061259 | −45 |
11774118061 | −1 |
12896325149 | +86 |
13286279999 | +52 |
20042556601 | +27 |
21950810731 | +93 |
23607097193 | +97 |
24664241321 | +46 |
28737804211 | −58 |
35525054743 | +26 |
41659815553 | +55 |
42647052491 | +10 |
44034466379 | +39 |
60373446719 | −48 |
64643245189 | −21 |
66966581777 | +91 |
67133912011 | +9 |
80248324571 | +46 |
80908082573 | −20 |
100660783343 | +87 |
112825721339 | +70 |
231939720421 | +41 |
258818504023 | +4 |
260584487287 | −52 |
265784418461 | −78 |
298114694431 | +82 |
См. также
Примечания
- A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
- The Prime Glossary: Wilson prime
- McIntosh, R. WILSON STATUS (Feb. 1999) . E-Mail to Paul Zimmermann (9 марта 2004). Дата обращения: 6 июня 2011. Архивировано 29 января 2013 года.
- A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
- Ribenboim, P.; Keller, W. Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (нем.). — Berlin Heidelberg New York: Springer, 2006. — S. 241. — ISBN 3-540-34283-4.
- Ibercivis site (недоступная ссылка). Дата обращения: 16 января 2013. Архивировано 20 июня 2012 года.
- Distributed search for Wilson primes (at mersenneforum.org)
- Takashi Agoh; Karl Dilcher, Ladislav Skula. Wilson quotients for composite moduli (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 222. — P. 843—861. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00951-X.
Литература
- N. G. W. H. Beeger. Quelques remarques sur les congruences rp−1 ≡ 1 (mod p2) et (p − 1!) ≡ −1 (mod p2) (англ.) // The Messenger of Mathematics : journal. — 1913–1914. — Vol. 43. — P. 72—84.
- Karl Goldberg. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime (англ.) // London Mathematical Society : journal. — 1953. — Vol. 28, no. 2. — P. 252—256. — doi:10.1112/jlms/s1-28.2.252.
- Paulo Ribenboim The new book of prime number records (неопр.). — Springer-Verlag, 1996. — С. 346. — ISBN 0-387-94457-5.
- Richard E. Crandall; Karl Dilcher, Carl Pomerance. A search for Wieferich and Wilson primes (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1997. — Vol. 66, no. 217. — P. 433—449. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6.
- Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (англ.). — Springer-Verlag, 2001. — P. 29. — ISBN 0-387-94777-9.
- Erna H. Pearson. On the Congruences (p − 1)! ≡ −1 and 2p−1 ≡ 1 (mod p2) (англ.) // Math. Comput. : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 194—195.
Ссылки
- The Prime Glossary: Wilson prime (недоступная ссылка)
- Weisstein, Eric W. Wilson prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Status of the search for Wilson primes (англ.)
- Wilson Quotients for composite moduli (англ.)
- On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson (недоступная ссылка)