Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году.[1].

Формулировка

Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октонионов[2].

Примечание

Здесь нормированной алгеброй называется алгебра, для любых двух элементов $a$ и $b$ которой выполняется тождество $(ab,ab)=(a,a)(b,b)$ , где $ab$ — произведение в алгебре, $(\cdot ,\cdot )$ — скалярное произведение.

Доказательство

Доказательство теоремы содержится в книге [3].

Примечания

Hurwitz, A. (1898), Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln, Goett. Nachr.: 309–316, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=GDZPPN002498200>
Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.
Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

Литература

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 143 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Hurwitz, A. (1898), Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln, Goett. Nachr.: 309–316, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=GDZPPN002498200>

[_e241ee0535f9ae05-2] Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.

[_9063d4e4c6a9e037-3] Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Целые ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Рациональные ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Алгебраические ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Комплексные ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Числа Кэли (октавы, октонионы) ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Седенионы ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион