Теорема Фробениуса

Пусть ${\displaystyle \mathbb {L} }$ — тело, содержащее в качестве подтела тело ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел, причём выполняются два условия:

• любой элемент ${\displaystyle x\in \mathbb {L} }$ коммутирует по умножению с вещественными числами: ${\displaystyle xa=ax}$, ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$;
• ${\displaystyle \mathbb {L} }$ является конечномерным векторным пространством над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Другими словами, ${\displaystyle \mathbb {L} }$ является конечномерной алгеброй с делением[1] над полем вещественных чисел.

Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело ${\displaystyle \mathbb {L} }$:

• либо изоморфно полю ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вещественных чисел,
• либо изоморфно полю ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел,
• либо изоморфно телу ${\displaystyle \mathbb {H} }$ кватернионов.

Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа, которое тоже является расширением ${\displaystyle \mathbb {R} }$, но не конечномерным. Другой пример — алгебра рациональных функций.

• Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах. Нормированные алгебры с делением — только ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} }$ и (неассоциативная) алгебра чисел Кэли.
• При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
• Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами.
• Поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля.
• Тело кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля.

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса.

Алгебра размерности n над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тело кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$ не является алгеброй над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$, так как центром ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ является алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве Rⁿ нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при n>1 в пространстве Rⁿ определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S^n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей[2]. Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере, следует, что это возможно только для сфер S¹, S³, S⁷. Это доказывает гипотезу Фробениуса.

• Алгебра Кэли
• Гиперкомплексное число
• Седенион
• Теорема Гурвица

• Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. — М.: Наука, 1990. — 320 с.
• Курош А. Г.  Лекции по общей алгебре. 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
• Понтрягин Л. С.  Обобщения чисел. — М.: Наука, 1986. — 120 с. — (Библиотечка «Квант», выпуск 54).