Тау-число

Тау-число (-число, англ. refactorable number) — целое число , делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое , что . Первые несколько тау-чисел[1]:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 40, 56, 60, 72, 80, 84, 88, 96.

Например, 18 имеет шесть делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6.

Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами[2] Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение (где  — наибольший общий делитель и ) имеет решение только в случае, если  — тау-число.

Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел:

  • существуют ли сколь угодно большие , для которых и , и являются тау-числами
  • если существует тау-число , следует ли из этого, что существует , такое что является тау-числом и .

Тау-числа были впервые определены Кёртисом Купером и Робертом Кеннеди в 1990 году[3], установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном (Simon Colton) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графов[4]. Колтон назвал эти числа англ. refactorable. Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.

Примечания

  1. последовательность A033950 в OEIS
  2. J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8
  3. Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright’s Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990
  4. S. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.