Репьюниты

Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица)[1] — натуральные числа , запись которых в системе счисления с основанием состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются : , , и т. д., и общий вид для них:

Репьюниты являются частным случаем репдигитов.

Факторизация десятичных репьюнитов

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет, означают, что это новые простые числа в факторизациях Rn, которые не делят Rk для всех k < n[2])


R1 =1
R2 =11
R3 =3 · 37
R4 =11 · 101
R5 =41 · 271
R6 =3 · 7 · 11 · 13 · 37
R7 =239 · 4649
R8 =11 · 73 · 101 · 137
R9 =32 · 37 · 333667
R10 =11 · 41 · 271 · 9091
R11 =21649 · 513239
R12 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R13 =53 · 79 · 265371653
R14 =11 · 239 · 4649 · 909091
R15 =3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R16 =11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R17 =2071723 · 5363222357
R18 =32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R19 =1111111111111111111
R20 =11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961
R21 =3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R22 =112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R23 =11111111111111111111111
R24 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R25 =41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R26 =11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R27 =33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R28 =11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R29 =3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R30 =3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Свойства

  • Известно только 9 простых репьюнитов для n, равных[3]:
2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343
При этом, по состоянию на август 2014, простота последних четырех чисел в вышеуказанной последовательности не доказана, а лишь предполагается с некоторой вероятностью[3].
Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.
  • В результате умножения при получается палиндромическое число вида из цифр с цифрой посередине.
  • Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
  • Всякое положительное кратное репьюнита содержит не менее n ненулевых цифр.
  • Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: . Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В культуре

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — .

Примечания

  1. Карпушина, 2013, с. 134.
  2. Последовательность A102380 в OEIS
  3. Последовательность A004023 в OEIS

Литература

  • Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
  • Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
  • Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. № 5. С. 28—29.
  • Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.