Факторион

Факторион — натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Полный список факторионов

Верхняя граница

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше . Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше , где . Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже . Следовательно все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр.

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Обобщения

В других системах счисления

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:

Основание Максимальное кол-во цифр Факторионы
2 2 1, 10
3 2 1, 2
4 3 1, 2, 13
5 3 1, 2, 144
6 4 1, 2, 41, 42
7 5 1, 2
8 5 1, 2
9 6 1, 2, 62558
10 7 1, 2, 145, 40585
11 8 1, 2, 24, 44, 28453
12 8 1, 2
13 9 1, 2, 83790C5B
14 10 1, 2, 8B0DD409C
15 11 1, 2, 661, 662
16 11 1, 2, 260F3B66BF9

k-факторионы

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

  1. k=2: 817926
  2. k=3: 138267, 1103790
  3. k=4: 12, 32, 104, 23076
  4. k=5: 10

Обобщения Пиковера

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:

  1. Факторион второго рода — равен произведению факториалов своих цифр, например: abc = a!⋅b!⋅c!
  2. Факторион третьего рода — равен сумме факториалов чисел, образованных группами цифр, например: abc = (ab)! + c!

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы второго рода в десятичной системе только вырожденные (1 и 2), найдено несколько факторионов третьего рода (жирным шрифтом выделены группы цифр):

  • 2 432 902 008 177 819 519
  • 51 090 942 171 710 544 079
  • 51 090 942 171 710 982 398
  • 403 291 461 126 605 635 584 809 043
  • 403 291 461 126 605 635 584 814 796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

Литература

  • Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
  • Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
  • Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
  • С. Л. Василенко. Числовые совпадения. — 2012.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.