Сильное псевдопростое число

Формально, нечётное составное число n = d • 2^s + 1 с нечётным d называется сильным псевдопростым числом (Ферма) по основанию a, если выполняется одно из условий:

${\displaystyle a^{d}\equiv 1\mod n}$

или

${\displaystyle a^{d\cdot 2^{r}}\equiv -1\mod n}$ для некоторого ${\displaystyle 0\leq r<s.}$

(Если число n удовлетворяет вышеприведённым условиям и мы не знаем, простое оно или нет, более точно называть его сильным вероятно простым по основанию a. Если же мы знаем, что n не простое, можно употреблять термин сильное псевдопростое число.)

Определение тривиально выполняется, если a ≡ ±1 mod n, так что эти тривиальные случаи часто исключаются.

Ричард Гай ошибочно дал определение только с первым условием, но ему удовлетворяют не все простые числа[1].

Сильное псевдопростое число по основанию a всегда является псевдопростым Эйлера — Якоби, псевдопростым Эйлера[2] и псевдопростым Ферма по этому основанию, но не все псевдопростые Эйлера и Ферма являются сильными псевдопростыми. Числа Кармайкла могут быть сильными псевдопростыми по некоторым основаниям, например, 561 является сильными псевдопростым по основанию 50, но не по всем базисам.

Составное число n является сильным псевдопростым максимум четверти всех оснований, меньших n [3][4]. Таким образом, нет «сильных чисел Кармайкла», чисел, которые являются сильными псевдопростыми для всех оснований. Следовательно, если задано случайное основание, вероятность, что число будет сильным псевдопростым по этому основанию, не превосходит 1/4, что используется в широко распространённом тесте Миллера — Рабина. Тем не менее, Арно[5] привёл 397-значное составное число, являющееся сильным псевдопростым по любому основанию, меньшему 307. Один из способов уберечься от объявления таких чисел вероятно простыми заключается в комбинации теста на сильное возможно простое число с тестом на псевдопростое число Люка, как в тесте Бейли — Померанца — Селфриджа — Уогстаффа.

Существует бесконечно много сильных псевдопростых по любому конкретному основанию[2].

Первые сильные псевдопростые по основанию 2

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581, 85489, 88357, 90751, ... (последовательность A001262 в OEIS).

По основанию 3

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287, 47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, ... (последовательность A020229 в OEIS).

По основанию 5

781, 1541, 5461, 5611, 7813, 13021, 14981, 15751, 24211, 25351, 29539, 38081, 40501, 44801, 53971, 79381, ... (последовательность A020231 в OEIS).

По основанию 4 см. A020230, а по основаниям от 6 до 100 см. последовательности от A020232 до A020326.

Если проверять вышеприведённые условия по нескольким основаниям, получаем более мощный тест на простоту, чем при использовании теста по одному основанию. Например, существует только 13 чисел, меньших 25•10⁹, являющихся сильными псевдопростыми по основаниям 2, 3 и 5 одновременно. Они перечислены в таблице 7 в статье Померанса и Селфриджа[2]. Наименьшее такое число — 25326001. Это означает, что при n меньшем 25326001, если n является сильным возможно простым число по основаниям 2, 3 и 5, число n является простым.

Число 3825123056546413051 является наименьшим числом, одновременно являющимся сильным псевдопростым по 9 основаниям 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23[6] [7]. Так что при n меньшем 3825123056546413051, если n является сильным вероятно простым по этим 9 основаниям, то n является простым.

При осторожном выборе основания, не являющегося простым, можно построить даже лучшие тесты. Например, не существует составных чисел ${\displaystyle <2^{64}}$, сильных псевдопростых по всем семи основаниям 2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504 и 1795265022[8].