Псевдопростое число Люка

В теории чисел классы псевдопростых чисел Люка и псевдопростых чисел Фибоначчи состоят из чисел Люка, прошедших некоторые тесты, которым удовлетворяют все простые числа.

Базовое свойство

Рассмотрим последовательности Люка Un(P,Q) и Vn(P,Q), где целые числа P и Q удовлетворяют условию:

Тогда, если p — простое число, большее 2, то

и, если символ Якоби

то p делит Up-ε.

Псевдопростые Люка

Псевдопростое Люка[1] — это составное число n, которое делит Un-ε. (Ризель (англ. Riesel) добавляет условие: символ Якоби .)

В частном случае последовательности Фибоначчи, когда P = 1, Q = −1 и D = 5, первые псевдопростые числа Люка — это 323 и 377; и оба равны −1, 324-ое число Фибоначчи делится на 323, а 378-ое — делится на 377.

Сильным псевдопростым Люка называется нечетное составное число n с (n,D)=1, и n-ε=2rs с s нечетным, удовлетворяющее одному из условий:

n делит Us
n делит V2js

для некоторого j < r. Сильное псевдопростое Люка является также псевдопростым Люка.

Сверхсильным псевдопростым Люка называется сильное псевдопростое Люка для множества параметров (P,Q), где Q = 1, удовлетворяющее одному из слегка модифицированных условий:

n делит Us и Vs, сравнимо с ±2 по модулю n
n делит V2js

для некоторого j < r. Сверхсильное псевдопростое Люка является также сильным псевдопростым Люка.

Комбинируя тест на псевдопростоту Люка с тестом простоты Ферма, скажем, по модулю 2, можно получить очень сильные вероятностные тесты простоты.

Псевдопростые Фибоначчи

Псевдопростое Фибоначчи — это составное число, n для которого

Vn сравним с P по модулю n,

где Q = ±1.

Сильное псевдопростое Фибоначчи может быть определено как составное число, являющееся псевдопростым числом Фибоначчи для любого P. Из определения следует (см. Мюллер (Müller) и Освальд (Oswald)), что :

  1. Нечетное составное целое n, являющееся также числом Кармайкла
  2. 2(pi + 1) | (n − 1) или 2(pi + 1) | (npi) для любого простого pi, делящего n.

Наименьшее сильное псевдопростое число Фибоначчи — это 443372888629441, имеющее делители 17, 31, 41, 43, 89, 97, 167 и 331.

Было высказано предположение, что не существует четных псевдопростых чисел Фибоначчи[2]

См. также

Примечания

  1. Robert Baillie; Samuel S. Wagstaff, Jr. Lucas Pseudoprimes (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1980. — October (vol. 35, no. 152). P. 1391—1417. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583518-6.
  2. Somer, Lawrence. On Even Fibonacci Pseudoprimes // Applications of Fibonacci Numbers (неопр.) / G. E. Bergum et al.. — Dordrecht: Kluwer, 1991. — Т. 4. — С. 277—288.

Литература

  • Richard E. Crandall; Carl Pomerance. Prime numbers: A computational approach (неопр.). Springer-Verlag, 2001. — С. 131—132. — ISBN 0-387-94777-9.
  • Hans Riesel Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (англ.). — 2nd ed. Birkhäuser, 1994. — Vol. 126. — P. 130. — (Progress in Mathematics). — ISBN 0-8176-3743-5.
  • Müller, Winfried B. and Alan Oswald. «Generalized Fibonacci Pseudoprimes and Probable Primes». In G.E. Bergum et al., eds. Applications of Fibonacci Numbers. Volume 5. Dordrecht: Kluwer, 1993. 459—464.
  • Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory (неопр.). Springer-Verlag, 2004. — С. 45. — ISBN 0-387-20860-7.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.