Квадратное треугольное число

Будем записывать N_k для k-го квадратного треугольного числа, s_k и t_k для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

Последовательности N_k, s_k и t_k присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу[1][2]^:12—13

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}}$

Соответствующие явные формулы для s_k и t_k[2]^:13:

${\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}$

и

${\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}$

Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом[3]:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}$

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим

${\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}$

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}$

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля P_k[4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}$

и потому все решения задаются формулами

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}$

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем[5]^:(12)

${\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.}$

${\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},N_{0}=1,N_{1}=36.}$

А также[1][2]^:13

${\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;}$

${\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.}$

Все квадратные треугольные числа имеют вид b²c², где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2[6].

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно[7]:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.}$

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов: ${\displaystyle 2^{2}}$ (очевидно), ${\displaystyle (n(n+1))/2}$ (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и ${\displaystyle (2n+1)^{2}}$ (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет[8]:

${\displaystyle {\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots .}$

С увеличением k, отношение t_k / s_k стремится к ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421}$, а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к ${\displaystyle 17+12{\sqrt {2}}\approx 33.97056}$.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1&\\2&36&6&8&1.33333&36\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\5&1\,413\,721&1\,189&1\,681&1.41379&33.97061\\6&48\,024\,900&6\,930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}}$

• Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Michael Dummett’s solution