Число Прота

Число Прота — натуральное число вида:

${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$,

где ${\displaystyle k}$ является нечётным положительным целым числом и ${\displaystyle n}$ — положительное целое число, причём ${\displaystyle k<2^{n}}$ (без последнего условия числами Прота были бы все нечётные целые числа больше 1[1]).

Названы в честь французского математика Франсуа Прота (1852—1879).

Первые числа Прота[2]:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, …

Наибольший интерес представляют простые числа Прота, первые таковые[3]:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …

Простота чисел Прота может проверяться с помощью теоремы Прота[4], которая утверждает, что число Прота ${\displaystyle p}$ является простым, только если существует целое ${\displaystyle a}$, для которого справедливо следующее сравнение:

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}}$.

На ноябрь 2016 года наибольшим известным простым числом Прота является ${\displaystyle 10223\cdot 2^{31172165}+1}$[5], обнаруженное Петером Сабольчем (Peter Szabolcs) в проекте добровольных вычислений Seventeen or Bust[6], притом оно же является крупнейшим известным простым числом, не являющееся числом Мерсенна[7].

Числа Каллена ${\displaystyle (n\cdot 2^{n}+1)}$ и числа Ферма ${\displaystyle (2^{2^{n}}+1)}$ представляют собой частные случаи чисел Прота.

Каждый делитель числа Ферма ${\displaystyle F_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ может быть представлен в виде ${\displaystyle k\cdot 2^{n+2}+1}$ (Эйлер, Люка, 1878). Однако, неравенство ${\displaystyle k<2^{n+2}}$ здесь может не выполняться.