Числа Лейланда

Числа Лейланда — это натуральные числа, представимые в виде xy + yx, где x и y — целые числа больше 1[1]. Иногда 3 также относят к числам Лейланда[2].

Первые несколько чисел Лейланда[2]:

3, 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649, 2169, 2530, 4240, 5392, …

Требование, что x и y должны быть больше чем 1, имеет ключевое значение, поскольку без него каждое натуральное число будет представимо в виде x1 + 1x. Кроме того, благодаря коммутативности сложения, обычно добавляют условие x ≥ y, чтобы избежать двойного покрытия чисел Лейланда. Таким образом область определения x и y определяется неравенством 1 < y ≤ x.

Простые числа Лейланда

Первые несколько простых чисел Лейланда[3][4]:

17 = 32 + 23,
593 = 92 + 29,
32 993 = 152 + 215,
2 097 593 = 212 + 221,
8 589 935 681 = 332 + 233,
59 604 644 783 353 249 = 245 + 524, …

На июнь 2008 года, крупнейшим известным простым числом Лейланда являлось число

26384405 + 44052638

с 15 071 цифрой[5], простота которого была доказана в 2004 году с помощью алгоритма fastECPP[6].

После этого были найдены ещё большие простые числа Лейланда, например, 51226753 + 67535122 (25050 десятичных знаков)[7]. В декабре 2012 года было доказано, что числа 311063 + 633110 (5596 десятичных знаков) и 86562929 + 29298656 (30008 десятичных знаков) также являются простыми. Последнее из этих чисел содержит рекордное число десятичных знаков на настоящий момент[8]. Существуют кандидаты в простые, например, 3147389 + 9314738[9], однако их простота пока не доказана.

Применение

Числа вида оказались удачными тестовыми примерами для универсальных алгоритмов разложения на множители из-за своего простого алгебраического описания и отсутствия очевидных свойств, которые бы позволили применить какой-либо специальный алгоритм факторизации[4][6].

Примечания
  1. Prime Numbers: A Computational Perspective, 2005.
  2. Последовательность A076980 в OEIS
  3. Последовательность A094133 в OEIS
  4. Primes and Strong Pseudoprimes of the form xy + yx (недоступная ссылка). Paul Leyland. Дата обращения: 14 января 2007. Архивировано 10 февраля 2007 года.
  5. Elliptic Curve Primality Proof (недоступная ссылка). Chris Caldwell. Дата обращения: 24 июня 2008. Архивировано 10 декабря 2008 года.
  6. Prime Numbers: A Computational Perspective, 2005, p. 4.
  7. Elliptic Curve Primality Proof. Chris Caldwell. Дата обращения: 3 апреля 2011.
  8. Mihailescu's CIDE. mersenneforum.org (11 декабря 2012). Дата обращения: 26 декабря 2012.
  9. Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records search

Литература
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.