Праймориал

Для n-го простого числа p_n праймориал p_n# определён как произведение первых n простых чисел[2][3]:

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$

где p_k — k-е простое число.

Например, p₅# обозначает произведение первых 5 простых чисел:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Таким образом, первые шесть праймориалов:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS, также включает p₀# = 1 как пустое произведение).

Асимптотически праймориалы p_n# растут в соответствии с

${\displaystyle p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},}$

где ${\displaystyle o(\cdot )}$ является нотацией «o» малого[3].

В общем случае для целого положительного числа n праймориал n# может быть определён как произведение простых чисел, меньших или равных n[2][4]:

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

где ${\displaystyle \pi (n)}$ является функцией распределения простых чисел (последовательность A000720 в OEIS), дающая количество простых чисел ≤ n, что эквивалентно

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{при }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{при простом }}n>1,\\(n-1)\#&{\text{при составном }}n>1.\end{cases}}}$

Например, 12# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Таким образом, ${\displaystyle \pi (12)=5}$ может быть вычислено как

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Рассмотрим первые 12 праймориалов:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что 12# = p₅# = 11#, поскольку 12 является составным числом.

Натуральный логарифм n# — это первая функция Чебышева, записанная в виде ${\displaystyle \theta (n)}$ или ${\displaystyle \vartheta (n)}$, что приближается к линейной n для больших значений n[5].

Праймориалы n# растут в соответствии с

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n.}$

Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23# даёт в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое многосоставное число можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30)[6].

Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет простые делители любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n отношение ${\displaystyle \phi (n)/n}$ меньше, чем для любого целого числа, где ${\displaystyle \phi }$ является функцией Эйлера.

Каждый праймориал является слабо тотиентным числом[7].

Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена[8] с использованием праймориала и функции Жордана ${\displaystyle J_{k}(n)}$:

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

Композиториал числа n в отличие от праймориала является произведением составных чисел, меньших, чем n. Композиториал равен отношению факториала и праймориала числа: ${\displaystyle n!/n\#}$. Первые пятнадцать композиториалов (исключая повторяющиеся значения) равны 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000[9][10][11].

• Праймориальное простое
• Факториал

• Harvey Dubner. Factorial and primorial primes // Journal of Recreational Mathematics. — 1987. — Vol. 19. — P. 197–203.