Праймориальное простое
В теории чисел праймориальным простым числом называется простое число вида pn# ± 1, где pn# — праймориал pn (то есть произведение первых n простых чисел). Числа вида pn# + 1 (не обязательно простые) называются числами Евклида.
Тесты простоты показывают, что
- pn# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … последовательность A057704 в OEIS
- pn# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … последовательность A014545 в OEIS
Несколько первых праймориальных простых
Несколько первых чисел Евклида
К марту 2021 года[1] максимальным известным праймориальным простым числом было 1098133# − 1 (n = 85586) с 476,311 знаками. Число было найдено в проекте распределенных вычислений PrimeGrid в 2012 году[2].
Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа простых чисел: Предположим, что существует только n простых чисел, тогда число pn# + 1 взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число.
Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечно количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел Евклида).
Число Евклида E6 = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида — простые.
Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с 3 mod 4.
Для всех n ≥ 3 последний знак En равен 1, поскольку En − 1 делится на 2 и 5.
См. также
Примечания
- The Top Twenty: Primorial
- Primegrid.com; forum announcement, 2 March 2012
Ссылки
- A. Borning, «Some Results for and » Math. Comput. 26 (1972): 567—570.
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages.
- Weisstein, Eric W. Primorial Prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» J. Rec. Math. 19 (1987): 197—203.
- Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.